問題
座標空間内の4点，，，を考える。
(1) ，，を満たす点の座標を求めよ。
(2) 点から直線に垂線を下ろし，その垂線と直線の交点をとする。をとを用いて表せ。
(3) 点をにより定め，を中心とする半径の球面を考える。が三角形と共有点を持つようなの範囲を求めよ。ただし，三角形は3点，，を含む平面内にあり，周とその内部からなるものとする。
方針
解法1（標準解法）
(1) は とおき，3本の内積条件を連立する。(2) は とおいて， から を決め， の一次結合に戻す。(3) は球面が三角形 と交わる条件を，中心 から三角形上の点までの距離の最小値・最大値の範囲として扱う。最小値は辺も含めて調べ，最大値は三角形の頂点で比較する。
別解（平面への正射影で距離を分離する）
の張る平面を とする。(1) の点 は に垂直なので，， と直交分解できる。したがって に対し となり，空間の問題を平面内での点と三角形の距離に落とせる。
解答
解法1（標準解法）
(1)
とおく。
である。条件 より なので である。また より であり， より である。 を代入すると だから である。よって である。
(2)
直線 上の点を とおく。， より である。垂線の足なので ，すなわち が成り立つ。ここで だから である。よって であり， となる。
一方
であるから
である。
(3)
定義より
である。球面 が三角形 と共有点をもつためには，三角形 上の点 に対して となるものが存在すればよい。三角形は連結なので，距離の最小値と最大値を求めればよい。ここで の平面 への正射影は である。点 は辺 に関して頂点 と反対側にあり，三角形の外部にある。したがって最短点は三角形の周上にある。
まず辺 上の点を ， とおく。このとき であり，
である。これは で最小となり，その値は である。
辺 上では とおくと であり，最小値は のとき である。辺 上では とおくと となり， では最小値は のとき である。したがって三角形上での距離の最小値の2乗は である。
次に最大値を調べる。固定点からの距離の2乗は各線分上で下に凸の2次関数である。したがって三角形上の最大値は頂点で比較すればよい。実際に であるから，最大値の2乗は である。
よって が取りうる範囲は すなわち である。
別解（平面への正射影で距離を分離する）
(1)
とおく。三つの条件は
である。これを解いて
を得る。
(2)
とおく。 より
したがって である。よって
(3)
平面 を とし， とおく。(1)より であり， である。したがって 上の任意の点 に対して
点 は三角形 の辺 の外側にある。直線 への垂線の足は
で，これは線分 上にある。実際
よって から三角形までの最短距離の2乗は であり，
一方，固定点からの距離の2乗は線分上で下に凸の2次関数なので，三角形上の最大値は頂点で比較すればよい。
したがって
三角形は連結で距離は連続だから，その間のすべての値をとる。ゆえに
である。