問題
整式を考える。
(1) を実数を係数とする整式とし，をで割った余りをとおく。をで割った余りとをで割った余りが等しいことを示せ。
(2) ，を実数とし，とおく。をで割った余りをとおき，をで割った余りをとおく。がに等しくなるような，の組をすべて求めよ。
方針
解法1（標準解法）
(1) は が で割り切れることから， も を因数にもつことを使う。(2) では なので，余りは での値， での導関数の値， での値により一意に決まる。 が でどう変化するかを追い， の必要十分条件として整理する。
別解（2次剰余を3成分の座標で表す）
2次以下の整式 を という3成分で表す。この座標は整式を一意に決め，7乗して剰余を取る操作は になる。写像を2回作用させた固定点条件を解く。
解答
解法1（標準解法）
(1)
を で割った余りが であるから，ある整式 を用いて と書ける。したがって であり， は で割り切れる。
一方，7乗の差は
と因数分解できる。右辺は を因数にもつので， で割り切れる。よって と は で割った余りが等しい。
(2)
である。2次以下の整式 は，，， の3つで一意に定まる。したがって， で割った余りを調べるにはこの3つを追えばよい。 とおく。 は を で割った余りなので である。さらに は の余りだから
である。 となるための必要十分条件は である。実数 に対して は であり， は偶数なので，解は である。したがって でなければならない。
また のいずれの場合も，式 から が従う。実際， なら左辺は0なので ， なら より である。よって すなわち である。
このとき である。 がともに のいずれかであるためには でなければならない。したがって である。
以上より求める組は である。
別解（2次剰余を3成分の座標で表す）
(1)
と書けるから である。合同式は積について保たれるので
したがって両者を で割った余りは等しい。
(2)
2次以下の整式 に対して
とおく。もし なら
と復元できるので， は2次以下の整式を一意に定める。
を で割った余りを とする。値と導関数を代入すれば
したがって2回作用させると
いま
とおく。 の必要十分条件は
である。実数 について の解は だけである。さらに のどの場合にも中央の式から となる。よって
このとき ， なので
両方を満たすのは である。逆にこの2値では上の三条件が成り立つので十分でもある。したがって
である。