東京大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $g(x)$ を $f(x)$ で割った余りが $r(x)$ であるから，ある整式 $q(x)$ を用いて $g(x)=f(x)q(x)+r(x)$ と書ける。したがって $g(x)-r(x)=f(x)q(x)$ であり，$g(x)-r(x)$ は $f(x)$ で割り切れる。

一方，7乗の差は$$g(x{)}^7-r(x{)}^7=(g(x)-r(x))\{g(x{)}^6+g(x{)}^{5}r(x)+\cdots +g(x)r(x{)}^5+r(x{)}^6\}$$と因数分解できる。右辺は $g(x)-r(x)$ を因数にもつので，$f(x)$ で割り切れる。よって $g(x{)}^7$ と $r(x{)}^7$ は $f(x)$ で割った余りが等しい。

(2) $f(x)=(x-1{)}^2(x-2)$ である。2次以下の整式 $R(x)$ は，$R(1)$，$R^{\mathrm{\prime }}(1)$，$R(2)$ の3つで一意に定まる。したがって，$f$ で割った余りを調べるにはこの3つを追えばよい。 $$A=h(1)=1+a+b,B=h^{\mathrm{\prime }}(1)=2+a,C=h(2)=4+2a+b$$ とおく。$h_1$ は $h^7$ を $f$ で割った余りなので $$h_1(1)=A^7,h_1^{\mathrm{\prime }}(1)=7A^{6}B,h_1(2)=C^7$$ である。さらに $h_2$ は $h_1^7$ の余りだから$$h_2(1)=A^{49},h_2^{\mathrm{\prime }}(1)=7(h_1(1){)}^6{h}_1^{\mathrm{\prime }}(1)=49A^{48}B,h_2(2)=C^{49}$$である。 $h_2(x)=h(x)$ となるための必要十分条件は $$A^{49}=A,49A^{48}B=B,C^{49}=C$$ である。実数 $X$ に対して $X^{49}=X$ は $X(X^{48}-1)=0$ であり，$48$ は偶数なので，解は $X=0,\pm 1$ である。したがって $A,C\in \{0,1,-1\}$ でなければならない。

また $A=0,\pm 1$ のいずれの場合も，式 $49A^{48}B=B$ から $B=0$ が従う。実際，$A=0$ なら左辺は0なので $B=0$，$A=\pm 1$ なら $49B=B$ より $B=0$ である。よって $B=2+a=0$ すなわち $a=-2$ である。

このとき $$A=h(1)=b-1,C=h(2)=b$$ である。$A,C$ がともに $0,\pm 1$ のいずれかであるためには $b\in \{0,1,2\}\text{かつ}b\in \{-1,0,1\}$ でなければならない。したがって $b=0,1$ である。

以上より求める組は $$(a,b)=(-2,0),(-2,1)$$ である。

2次以下の整式 $R$ を $(R(1),R^{\mathrm{\prime }}(1),R(2))$ という3成分で表す。この座標は整式を一意に決め，7乗して剰余を取る操作は $(u,v,w)\mapsto (u^7,7u^{6}v,w^7)$ になる。写像を2回作用させた固定点条件を解く。

(1)
$g=fq+r$ と書けるから $g\equiv r(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}f)$ である。合同式は積について保たれるので$$g^7\equiv r^7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}f)\mathrm{.}$$したがって両者を $f$ で割った余りは等しい。

(2)
2次以下の整式 $R$ に対して$$\mathrm{\Phi }(R)=(R(1),R^{\mathrm{\prime }}(1),R(2))$$とおく。もし $\mathrm{\Phi }(R)=(u,v,w)$ なら$$R(x)=u+v(x-1)+(w-u-v)(x-1{)}^2$$と復元できるので，$\mathrm{\Phi }$ は2次以下の整式を一意に定める。

$R^7$ を $f=(x-1{)}^2(x-2)$ で割った余りを $T(R)$ とする。値と導関数を代入すれば$$\mathrm{\Phi }(T(R))=(u^7,7u^{6}v,w^7)\mathrm{.}$$したがって2回作用させると$$\mathrm{\Phi }(T^2(R))=(u^{49},49u^{48}v,w^{49})\mathrm{.}$$いま$$A=h(1)=1+a+b,B=h^{\mathrm{\prime }}(1)=2+a,C=h(2)=4+2a+b$$とおく。$h_2=h$ の必要十分条件は$$A^{49}=A,49A^{48}B=B,C^{49}=C$$である。実数 $X$ について $X^{49}=X$ の解は $0,1,-1$ だけである。さらに $A=0,\pm 1$ のどの場合にも中央の式から $B=0$ となる。よって$$a=-2.$$このとき $A=b-1$，$C=b$ なので$$b-1\in \{0,1,-1\},b\in \{0,1,-1\}\mathrm{.}$$両方を満たすのは $b=0,1$ である。逆にこの2値では上の三条件が成り立つので十分でもある。したがって$$(a,b)=(-2,0),(-2,1)$$である。