東京大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$P=(x,y,0)$とおく。条件(i)より $(x,y)\mathrm{\ne }(0,0)$ である。

条件(ii)について $$\overrightarrow{OA}=(0,-1,1),\overrightarrow{OP}=(x,y,0)$$ であるから，$$\cos \mathrm{\angle }AOP=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }}=\frac{-y}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}}$$である。条件(ii)は $$\mathrm{\angle }AOP\geqq \frac{2\pi }{3}$$ なので，余弦の値について $$\frac{-y}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}}\leqq -\frac{1}{2}$$ が成り立つ。右辺が負であるため，この不等式が成り立つには$y\geqq 0$でなければならない。そこで両辺を移項して $$\frac{y}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}}\geqq \frac{1}{2}$$ とし，両辺が0以上であることを確認して平方する。すると $$\frac{y^2}{2(x^2+y^2)}\geqq \frac{1}{4}$$ より $2y^2\geqq x^2+y^2$ すなわち $y^2\geqq x^2$ である。$y\geqq 0$と合わせて $y\geqq \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ を得る。

条件(iii)について $$\overrightarrow{AO}=(0,1,-1),\overrightarrow{AP}=(x,y+1,-1)$$ である。したがって$$\cos \mathrm{\angle }OAP=\frac{\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AP}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{AO}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}\mathrm{\mid }}=\frac{y+2}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+(y+1{)}^2+1}}$$である。条件(ii)から$y\geqq 0$が分かっているので，$y+2>0$である。条件(iii)より $$\frac{y+2}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+(y+1{)}^2+1}}\geqq \frac{\sqrt{3}}{2}$$ であり，両辺は正なので平方してよい。平方すると $2(y+2{)}^2\geqq 3\{x^2+(y+1{)}^2+1\}$ である。これを整理すると $2(y^2+4y+4)\geqq 3x^2+3(y^2+2y+1)+3$ すなわち $3x^2+(y-1{)}^2\leqq 3$ となる。

以上より，求める範囲は $$y\geqq \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },3x^2+(y-1{)}^2\leqq 3$$ を同時に満たす$xy$平面上の点全体から，原点$O$を除いた部分である。図示すると，直線$y=x$，$y=-x$に挟まれた上向きの領域と，中心$(0,1)$の楕円 $3x^2+(y-1{)}^2=3$ の内部との共通部分であり，境界は含む。ただし原点だけは条件(i)により除く。

したがって，求める範囲を実際に図示すると次の青色部分になる。

楕円と2直線の境界は含むが，原点だけは白丸で除外している。