東大 2026年度文系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

頂点が $(- 3, 1)$ であることから，放物線の2つの $x$ 軸との交点を頂点の左右に同じ距離だけ離して表す。すなわち $α = - 3 - d, β = - 3 + d (d > 0)$ と置くと，頂点の高さの条件から $k d^{2} = 1$ が出る。これにより放物線は $y = 1 - (x + 3)^{2} / d^{2}$ と書ける。あとは $y$ 軸との交点の高さが $[- 2, 0]$ に入る条件を $d$ の範囲に直し，面積 $S$ を $d$ の一次式として求める。

解答

頂点の $x$ 座標が $- 3$ であり， $α < β$ であるから，ある正の実数 $d$ を用いて $α = - 3 - d, β = - 3 + d$ と表せる。このとき $(x - α) (β - x) = (x + 3 + d) (- x - 3 + d) = d^{2} - (x + 3)^{2}$ である。したがって放物線は $y = k {d^{2} - (x + 3)^{2}}$ である。

頂点は $x = - 3$ のときで，その $y$ 座標は $k d^{2}$ である。頂点が $(- 3, 1)$ だから $k d^{2} = 1$ である。特に $k = 1 / d^{2} > 0$ であり，放物線は $y = 1 - \frac{(x + 3)^{2}}{d^{2}}$ と書ける。

次に， $C$ と $y$ 軸との交点を調べる。 $x = 0$ を代入すると，その $y$ 座標は $1 - \frac{9}{d^{2}}$ である。条件より $- 2 ≦ 1 - \frac{9}{d^{2}} ≦ 0$ でなければならない。右側の不等式から $1 ≦ \frac{9}{d^{2}}$ すなわち $d^{2} ≦ 9$ を得る。また左側の不等式から $\frac{9}{d^{2}} ≦ 3$ すなわち $d^{2} ≧ 3$ を得る。よって $3 ≦ d^{2} ≦ 9$ であり， $d > 0$ だから $\sqrt{3} ≦ d ≦ 3$ である。

放物線と $x$ 軸で囲まれる部分は， $x = - 3 - d$ から $x = - 3 + d$ までである。 $u = x + 3$ と置くと $S = \int_{- 3 - d}^{- 3 + d} (1 - \frac{(x + 3)^{2}}{d^{2}}) d x = \int_{- d}^{d} (1 - \frac{u^{2}}{d^{2}}) d u$ である。被積分関数は偶関数なので $S = 2 \int_{0}^{d} (1 - \frac{u^{2}}{d^{2}}) d u = 2 {[u - \frac{u^{3}}{3 d^{2}}]}_{0}^{d} = 2 (d - \frac{d}{3}) = \frac{4 d}{3}$ である。

したがって $\sqrt{3} ≦ d ≦ 3$ より，求める範囲は $\frac{4 \sqrt{3}}{3} ≦ S ≦ 4$ である。端点はそれぞれ $d = \sqrt{3}, 3$ で実際に実現する。

総評

難度4/10、計算量4/10。想定時間は8分。頂点の対称性から零点を $α = - 3 - d, β = - 3 + d$ と置き、頂点条件を $k d^{2} = 1$ に集約するのが最短である。すると $y$ 軸との交点条件がそのまま $d^{2}$ の範囲になり、面積は偶関数の積分で $S = 4 d / 3$ と一次式まで簡約される。採点上は $d > 0$ 、不等号の向き、両端値が実際に条件を満たすことの3点を明示したい。典型的な失点は、放物線の式で符号を誤ることと、面積を符号付き積分のまま扱うことである。別解として底辺と相似比を用いる幾何的計算も可能だが、積分が短く確実である。短時間で完答しやすい問題なので、試験では優先して取り切るべき一問である。

出典: 東京大学 2026年度第2次学力試験数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

方針

解答

総評

東京大学 2026年度前期日程第2次学力試験文系数学第1問