東京大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
線分を $t:(1-t)$ に内分する点は，始点側から割合 $t$ だけ進んだ点である。したがって $P_t=(1-t)A+tB=(0,t),$ $Q_t=(1-t)B+tC=(t,1),$ $R_t=(1-t)C+tD=(1,1-t)$ である。

次に，$S_t$ は線分 $P_t{Q}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_t}& {\displaystyle =(1-t)P_t+t{Q}_t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-t)(0,t)+t(t,1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t^2,(1-t)t+t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t^2,2t-t^2)}\end{array}$$である。同様に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_t}& {\displaystyle =(1-t)Q_t+t{R}_t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-t)(t,1)+t(1,1-t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2t-t^2,1-t^2)}\end{array}$$である。

最後に，$U_t$ は線分 $S_t{T}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle U_t}& {\displaystyle =(1-t)S_t+t{T}_t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-t)(t^2,2t-t^2)+t(2t-t^2,1-t^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(t^2-t^3+2t^2-t^3,2t-3t^2+t^3+t-t^3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(3t^2-2t^3,3t-3t^2)}\end{array}$$である。よって $$U_t=(3t^2-2t^3,3t-3t^2)$$ である。

(2)
(1)より $$x=3t^2-2t^3,y=3t-3t^2$$ とおく。$0\leqq t\leqq 1$ で $y=3t(1-t)\geqq 0$ であり，また $$\frac{dx}{dt}=6t-6t^2=6t(1-t)\geqq 0$$ である。したがって曲線は $A(0,0)$ から $D(1,0)$ まで，$x$ 方向に戻らずに進む。

軌跡と線分 $AD$ の位置関係は次のようになる。

線分 $AD$ は $x$ 軸上にあるから，囲まれた部分の面積は $${\int }_0^{1}ydx={\int }_0^{1}y\frac{dx}{dt}dt$$ で求められる。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{1}y\frac{dx}{dt}dt}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}3t(1-t)\cdot 6t(1-t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =18{\int }_0^1{t}^2(1-t{)}^{2}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =18{\int }_0^1(t^2-2t^3+t^4)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =18(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =18\cdot \frac{1}{30}=\frac{3}{5}}\end{array}$$である。

(3) $0\leqq t\leqq a$ における曲線の長さを $L$ とする。パラメータ表示された曲線の長さは$$L={\int }_0^a\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$$である。ここで $$\frac{dx}{dt}=6t(1-t),\frac{dy}{dt}=3-6t=3(1-2t)$$ であるから，根号内は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \{6t(1-t){\}}^2+(3-6t{)}^2}& {\displaystyle =36t^2(1-t{)}^2+9(1-2t{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9\{4t^2(1-t{)}^2+(1-2t{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9(2t^2-2t+1{)}^2}\end{array}$$となる。また $$2t^2-2t+1=2{(t-\frac{1}{2})}^2+\frac{1}{2}>0$$ である。したがって $$\sqrt{\{6t(1-t){\}}^2+(3-6t{)}^2}=3(2t^2-2t+1)$$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle ={\int }_0^{a}3(2t^2-2t+1)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[2t^3-3t^2+3t]}_0^a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a^3-3a^2+3a}\end{array}$$である。