東京大学 2025年度理系数学第2問解答・解説

問題

(1) $x > 0$ のとき，不等式 $lo g x ≦ x - 1$ を示せ。

(2) 次の極限を求めよ。

n \to \infty lim n \int_{1}^{2} lo g (\frac{1 + x ^{1/ n}}{2}) d x

出典：東京大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)は $F (x) = x - 1 - lo g x$ の増減で示す。(2)は(1)を $u$ と $1/ u$ に適用し、 $1 - 1/ u ≦ lo g u ≦ u - 1$ を得る。 $u = (1 + x^{1/ n}) /2$ を代入し、 $1 ≦ x^{1/ n} ≦ 2^{1/ n}$ で分母を一定値で抑えると、元の積分は $I_{n} = \int_{1}^{2} (x^{1/ n} - 1) d x$ の定数倍の間にはさまる。 $I_{n}$ を正確に積分して極限を取る。

解答

(1)

F (x) = x - 1 - lo g x (x > 0)

とおく。すると

F^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}

である。よって $F$ は $0 < x < 1$ で減少し、 $x > 1$ で増加する。 $F (1) = 0$ だから

lo g x ≦ x - 1

である。等号は $x = 1$ のときに成り立つ。

(2)

(1) を $u > 0$ に適用すると $lo g u ≦ u - 1$ である。また、 $1/ u$ に適用すると

lo g \frac{1}{u} ≦ \frac{1}{u} - 1

だから

1 - \frac{1}{u} ≦ lo g u ≦ u - 1

を得る。ここで

y = x^{1/ n}, u = \frac{1 + y}{2}

とおくと

\frac{y - 1}{y + 1} ≦ lo g \frac{1 + y}{2} ≦ \frac{y - 1}{2}

である。

$1 ≦ x ≦ 2$ では $1 ≦ y ≦ 2^{1/ n}$ なので

\frac{x ^{1/ n} - 1}{1 + 2 ^{1/ n}} ≦ lo g (\frac{1 + x ^{1/ n}}{2}) ≦ \frac{x ^{1/ n} - 1}{2}

となる。

I_{n} = \int_{1}^{2} (x^{1/ n} - 1) d x

とおき、上の不等式を積分して $n$ 倍すると

\frac{n I _{n}}{1 + 2 ^{1/ n}} ≦ n \int_{1}^{2} lo g (\frac{1 + x ^{1/ n}}{2}) d x ≦ \frac{n I _{n}}{2}

である。

$I_{n}$ は正確に計算でき、

I_{n} = [\frac{n}{n + 1} x^{1 + 1/ n} - x]_{1}^{2} = \frac{2 n ( 2 ^{1/ n} - 1 ) - 1}{n + 1}

である。したがって、既知の極限

n \to \infty lim n (2^{1/ n} - 1) = lo g 2

より

n \to \infty lim n I_{n} = 2 lo g 2 - 1

である。また $2^{1/ n} \to 1$ だから、不等式の左辺と右辺はどちらも

\frac{2 lo g 2 - 1}{2} = lo g 2 - \frac{1}{2}

に収束する。よって、はさみうちの原理により求める極限は

lo g 2 - \frac{1}{2}

である。

東京大学 2025年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2025年度
理系数学第2問