東大 2025年度理系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

(1) は $F (x) = x - 1 - \log x$ の増減で示す。(2)は(1)を $u$ と $1 / u$ に適用し、 $1 - 1 / u ≦ \log u ≦ u - 1$ を得る。 $u = (1 + x^{1 / n}) / 2$ を代入し、 $1 ≦ x^{1 / n} ≦ 2^{1 / n}$ で分母を一定値で抑えると、元の積分は $I_{n} = \int_{1}^{2} (x^{1 / n} - 1) d x$ の定数倍の間にはさまる。 $I_{n}$ を正確に積分して極限を取る。

解答

(1) $F (x) = x - 1 - \log x (x > 0)$ とおく。すると $F^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ である。よって $F$ は $0 < x < 1$ で減少し、 $x > 1$ で増加する。 $F (1) = 0$ だから $\log x ≦ x - 1$ である。等号は $x = 1$ のときに成り立つ。

(2)
(1) を $u > 0$ に適用すると $\log u ≦ u - 1$ である。また、 $1 / u$ に適用すると $\log \frac{1}{u} ≦ \frac{1}{u} - 1$ だから $1 - \frac{1}{u} ≦ \log u ≦ u - 1$ を得る。ここで $y = x^{1 / n}, u = \frac{1 + y}{2}$ とおくと $\frac{y - 1}{y + 1} ≦ \log \frac{1 + y}{2} ≦ \frac{y - 1}{2}$ である。

$1 ≦ x ≦ 2$ では $1 ≦ y ≦ 2^{1 / n}$ なので $\frac{x^{1 / n} - 1}{1 + 2^{1 / n}} ≦ \log (\frac{1 + x^{1 / n}}{2}) ≦ \frac{x^{1 / n} - 1}{2}$ となる。 $I_{n} = \int_{1}^{2} (x^{1 / n} - 1) d x$ とおき、上の不等式を積分して $n$ 倍すると $\frac{n I_{n}}{1 + 2^{1 / n}} ≦ n \int_{1}^{2} \log (\frac{1 + x^{1 / n}}{2}) d x ≦ \frac{n I_{n}}{2}$ である。

$I_{n}$ は正確に計算でき、 $\begin{aligned} I_{n} & = {[\frac{n}{n + 1} x^{1 + 1 / n} - x]}_{1}^{2} \\ = \frac{2 n (2^{1 / n} - 1) - 1}{n + 1} \end{aligned}$ である。したがって、既知の極限 $\lim_{n \to \infty} n (2^{1 / n} - 1) = \log 2$ より $\lim_{n \to \infty} n I_{n} = 2 \log 2 - 1$ である。また $2^{1 / n} \to 1$ だから、不等式の左辺と右辺はどちらも $\frac{2 \log 2 - 1}{2} = \log 2 - \frac{1}{2}$ に収束する。よって、はさみうちの原理により求める極限は $\log 2 - \frac{1}{2}$ である。

総評

難度5、計算量4、想定時間12分から15分。(1) の不等式は(2) の誘導であり、 $u$ と $1 / u$ に適用すると対数を上下から抑えられる。被積分関数の一次近似や極限と積分の無断の交換は用いず、区間全体で成り立つ不等式と、正確に積分できる $I_{n}$ ではさみうちを完結させた。

出典: 東京大学 2025年度第2次学力試験数学（理系）公式問題（大学公式の問題PDF（6ページ））。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

方針

解答

総評

東京大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系数学第2問