Evolton

東京大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

n を正の整数とする。座標平面上の 3n 個の点(x,y)(x,y は整数,1≦x≦3,1≦y≦n)から相異なる3点を無作為に選ぶ。この3点が三角形の3頂点となる確率を pn とする。

(1) p5 を求めよ。

(2) m≧2 を整数とするとき，p2m を求めよ。

難易度5/ 10計算量5/ 10目安15分

確率、場合の数、図形と方程式　余事象、数え上げ、場合分け、計算整理

方針

3点が三角形を作らないのは，3点が一直線上に並ぶ場合だけである。一直線上の3点を，縦1列にある場合と，3つの列 x=1,2,3 から1点ずつ選ぶ場合に分ける。後者は必ず (1,y),(2,y+d),(3,y+2d) と表されるので，整数 d ごとに取り得る y の個数を数える。最後に全体の選び方から一直線上の場合を引いて確率を求める。

解答

(1)
n=5 のとき，全15点から相異なる3点を選ぶ方法は 15C3=455 通りである。三角形にならないのは3点が一直線上にある場合に限る。

3点が同じ縦列にある場合は 3⋅5C3=30 通りである。これとは重ならない場合として3列から1点ずつ選ぶ。一直線上にあるための必要十分条件は中央列の点が両端の点の中点になることであり，3点は(1,y),(2,y+d),(3,y+2d)と表せる。固定した整数 d に対して3つの y 座標がすべて1以上5以下となる y は 5−2∣d∣ 個であり，∣d∣≦2 である。よってこの場合は∑d=−22(5−2∣d∣)=5+2⋅3+2⋅1=13通りである。したがって非三角形は 30+13=43 通りなのでp5=1−43455=412455である。

(2)
n=2m とする。全事象は 6mC3=m(6m−1)(6m−2) 通りである。同じ縦列に3点がある場合は 3⋅2mC3=2m(2m−1)(m−1) 通りである。

3列から1点ずつ選ぶ場合は(1)と同じ表示を使う。固定した d に対する y の個数は 2m−2∣d∣ であり，∣d∣≦m−1 であるから∑d=−(m−1)m−1(2m−2∣d∣)=2m+2∑d=1m−1(2m−2d)=2m2通りである。2つの場合は互いに排反なので，一直線上にある3点は2m(2m−1)(m−1)+2m2=2m(2m2−2m+1)通りである。ゆえにp2m=1−2m(2m2−2m+1)m(6m−1)(6m−2)=1−2(2m2−2m+1)(6m−1)(6m−2)である。

総評

難度5/10、計算量5/10。想定時間は15分。三角形にならない余事象を数え、共線な3点を「同じ縦列」と「3列から1点ずつ」に排反に分け、後者を (1,y),(2,y+d),(3,y+2d) と置くのが主方針である。採点上は2分類が全場合を尽くすこと、d と −d を別々に数えること、全事象の個数を明示したい。典型的な失点は d=0 の落としと二重計上である。行列式による別解も最後は同じ等差数列の計数に帰着する。時間不足なら(1)を完答し、(2)は非三角形の個数の式まで残すと部分点を得やすい。

冊子PDFで見る東大の確率の問題で問題集を作る

出典: 東京大学 2026年度 第2次学力試験 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。