東京大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
まず $4\leqq x<5$ を考える。この区間では定義より $g(x)=x-4$ である。$y=x-1$ とおくと $3\leqq y<4$ であり，$$f(x)-g(x)=\frac{a}{8}(x-1{)}^2+\frac{2}{a}-3-(x-4)=\frac{a}{8}{y}^2+\frac{2}{a}-y$$である。相加相乗平均より$$\frac{a}{8}{y}^2+\frac{2}{a}\geqq 2\sqrt{\frac{a}{8}{y}^2\cdot \frac{2}{a}}=y$$である。等号が成り立つには $$\frac{a}{8}{y}^2=\frac{2}{a}$$ すなわち $ay=4$ が必要である。しかし $0<a<1$，$3\leqq y<4$ では $ay<4$ だから等号は成り立たない。よって $f(x)-g(x)>0$ である。

次に $x\geqq 5$ を考える。関数 $g(x)$ は各区間で0から1まで動く折れ線関数なので，常に $0\leqq g(x)\leqq 1$ である。一方，$x\geqq 1$ では $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{a}{4}(x-1)\geqq 0$$ より $f(x)$ は単調増加する。したがって $x\geqq 5$ では $$f(x)\geqq f(5)=2a+\frac{2}{a}-3$$ である。さらに $$2a+\frac{2}{a}-3>1$$ は $$a+\frac{1}{a}>2$$ と同値であり，$0<a<1$ なので確かに成り立つ。よって $x\geqq 5$ でも $f(x)>1\geqq g(x)$ である。

以上より，$x\geqq 4$ において $f(x)>g(x)$ が成り立つ。

(2)
以後 $\frac{1}{2}<a<\frac{2}{3}$ とする。$b=2\mathrm{/}a-3$ とおくと，この範囲では $0<b<1$ である。(1)より $x\geqq 4$ には交点がないので，$0\leqq x<4$ だけを調べればよい。

まず $0\leqq x<1$ では $g(x)=x$ である。この区間で $h_0(x)=f(x)-g(x)$ とおくと，$$h_0^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{a}{4}(x-1)-1<0$$ であるから $h_0(x)$ は単調減少する。また $$h_0(0)=\frac{a}{8}+b>0,\underset{x\to 1-}{\lim }{h}_0(x)=b-1<0$$ である。したがってこの区間に交点は1個ある。

次に $1\leqq x<2$ では $g(x)=2-x$ である。$y=x-1$ とおくと $0\leqq y<1$ で，$$f(x)-g(x)=\frac{a}{8}{y}^2+b-1+y$$ である。この式の $y$ に関する導関数は $$\frac{a}{4}y+1>0$$ だから単調増加する。端では $$f(1)-g(1)=b-1<0,\underset{x\to 2-}{\lim }\{f(x)-g(x)\}=\frac{a}{8}+b>0$$ である。よってこの区間にも交点は1個ある。

次に $2\leqq x<3$ では $g(x)=x-2$ である。再び $y=x-1$ とおくと $1\leqq y<2$ で，$$f(x)-g(x)=\frac{a}{8}{y}^2+b-y+1$$ である。この式の導関数は $\frac{a}{4}y-1$ であり，$1\leqq y<2$，$a<2\mathrm{/}3$ から $$\frac{a}{4}y-1<\frac{a}{2}-1<0$$ である。したがって単調減少する。左端では $$f(2)-g(2)=\frac{a}{8}+b>0$$ であり，右端に近づけると$$\underset{x\to 3-}{\lim }\{f(x)-g(x)\}=\frac{a}{2}+b-1=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}-4$$となる。この値の符号を調べると，$$\frac{a}{2}+\frac{2}{a}-4<0$$ は，$a>0$ より $a^2-8a+4<0$ と同値である。よって $a>4-2\sqrt{3}$ のとき負，$a=4-2\sqrt{3}$ のとき0，$a<4-2\sqrt{3}$ のとき正である。なお $$\frac{1}{2}<4-2\sqrt{3}<\frac{2}{3}$$ である。

最後に $3\leqq x<4$ では $g(x)=-x+4$ である。$y=x-1$ とおくと $2\leqq y<3$ で，$$f(x)-g(x)=\frac{a}{8}{y}^2+b-3+y$$ である。この式の導関数は $$\frac{a}{4}y+1>0$$ であるから単調増加する。左端 $x=3$ での値は $$f(3)-g(3)=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}-4$$ であり，右端では正になる。

以上をまとめる。最初の2区間で交点は常に2個ある。さらに，$a<4-2\sqrt{3}$ のときは $[2,4)$ に交点がない。$a=4-2\sqrt{3}$ のときは $x=3$ でちょうど1個交点がある。$a>4-2\sqrt{3}$ のときは $[2,3)$ と $[3,4)$ にそれぞれ1個ずつ交点がある。

したがって，求める交点の個数は$$\{\begin{array}{ll}2& ({\displaystyle \frac{1}{2}}<a<4-2\sqrt{3}),\\ 3& (a=4-2\sqrt{3}),\\ 4& (4-2\sqrt{3}<a<{\displaystyle \frac{2}{3}})\end{array}$$である。