東京大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
曲線 $C:y=x^3-kx$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-k$ である。したがって，$x=t$ における接線は $$y-(t^3-kt)=(3t^2-k)(x-t)$$ すなわち $y=(3t^2-k)x-2t^3$ である。この接線の傾きは $3t^2-k$ である。特に原点 $O$ における接線の傾きは $-k$ である。

条件 $(\ast )$ より，3本の接線のどの2本もなす小さい方の角が $\pi \mathrm{/}3$ である。直線の方向角を $(-\pi \mathrm{/}2,\pi \mathrm{/}2)$ の範囲でとれば，3本の方向角は小さい順に $\theta ,\theta +\frac{\pi }{3},\theta +\frac{2\pi }{3}$ と書ける。ただし3つとも $(-\pi \mathrm{/}2,\pi \mathrm{/}2)$ に入る必要があるので $$-\frac{\pi }{2}<\theta <-\frac{\pi }{6}$$ である。

原点以外の点での傾きは $3t^2-k$ であり，これは常に $-k$ 以上である。したがって，最小の傾きに対応するのは原点の接線であり，$-k=\tan \theta$ でなければならない。上の $\theta$ の範囲から $$\tan \theta <-\frac{1}{\sqrt{3}}$$ であるから，必要条件として $$k>\frac{1}{\sqrt{3}}$$ を得る。

逆に $k>1\mathrm{/}\sqrt{3}$ とする。このとき $-k=\tan \theta$ を満たす $\theta$ をとると，$-\pi \mathrm{/}2<\theta <-\pi \mathrm{/}6$ である。そこで$$b=\tan (\theta +\frac{\pi }{3}),c=\tan (\theta +\frac{2\pi }{3})$$とおくと，$-k<b<c$ である。したがって $$3p^2-k=b,3q^2-k=c$$ を満たす実数 $p,q$ が存在する。$b,c>-k$ なので $p,q\mathrm{\ne }0$ であり，また $b\mathrm{\ne }c$ から $\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ である。よって接点 $P,Q$ は原点とも互いとも異なる。3本の方向角は上で定めた通りであるから，どの2本の接線もなす角が $\pi \mathrm{/}3$ となり，条件 $(\ast )$ を満たす。

したがって求める $k$ の範囲は $$k>\frac{1}{\sqrt{3}}$$ である。

(2)
以下，$k>1\mathrm{/}\sqrt{3}$ とする。原点の接線の傾きを $a=-k$ とおき，また$$b=\tan (\theta +\frac{\pi }{3}),c=\tan (\theta +\frac{2\pi }{3})$$とする。ただし $a=\tan \theta$ である。さらに $A=b-a,D=c-a$ とおく。このとき $0<A<D$ である。

傾き $b$ に対応する接点の $x$ 座標を $p$ とすると，$3p^2-k=b$ であるから $3p^2=A$ であり，$$p=\epsilon \sqrt{\frac{A}{3}}(\epsilon =\pm 1)$$ と書ける。同様に，傾き $c$ に対応する接点の $x$ 座標を $q$ とすると $$q=\delta \sqrt{\frac{D}{3}}(\delta =\pm 1)$$ と書ける。

原点の接線は $y=ax$ である。$p$ における接線は $y=(a+A)x-2p^3$ であり，$q$ における接線は $y=(a+D)x-2q^3$ である。ここで $Y=y-ax$ とおくと，面積は変わらず，3直線は $$Y=0,Y=Ax+u,Y=Dx+v$$ となる。ただし$$u=-2p^3=-\frac{2\epsilon A^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{3}},v=-2q^3=-\frac{2\delta D^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{3}}$$である。

直線 $Y=Ax+u$ と $Y=0$ の交点の $x$ 座標は $$-\frac{u}{A}=\frac{2\epsilon \sqrt{A}}{3\sqrt{3}}$$ であり，直線 $Y=Dx+v$ と $Y=0$ の交点の $x$ 座標は $$-\frac{v}{D}=\frac{2\delta \sqrt{D}}{3\sqrt{3}}$$ である。したがって底辺の長さは $\frac{2}{3\sqrt{3}}\mathrm{\mid }\delta \sqrt{D}-\epsilon \sqrt{A}\mathrm{\mid }$ である。

また，2本の斜めの直線の交点の $Y$ 座標は$$\frac{uD-Av}{D-A}=\frac{2AD(\delta \sqrt{D}-\epsilon \sqrt{A})}{3\sqrt{3}(D-A)}$$であるから，高さはその絶対値である。よって面積 $S$ は$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}}\mathrm{\mid }\delta \sqrt{D}-\epsilon \sqrt{A}\mathrm{\mid }\cdot \frac{2AD}{3\sqrt{3}(D-A)}\mathrm{\mid }\delta \sqrt{D}-\epsilon \sqrt{A}\mathrm{\mid }$$すなわち $$S=\frac{2AD}{27(D-A)}(\delta \sqrt{D}-\epsilon \sqrt{A}{)}^2$$ である。 $\epsilon ,\delta$ の符号が同じとき $$S=\frac{2AD}{27(D-A)}(\sqrt{D}-\sqrt{A}{)}^2$$ であり，符号が異なるとき $$S=\frac{2AD}{27(D-A)}(\sqrt{D}+\sqrt{A}{)}^2$$ である。したがって最小値 $m$ と最大値 $M$ はそれぞれ$$m=\frac{2AD}{27(D-A)}(\sqrt{D}-\sqrt{A}{)}^2,M=\frac{2AD}{27(D-A)}(\sqrt{D}+\sqrt{A}{)}^2$$である。

条件 $M=4m$ は $${\left(\frac{\sqrt{D}+\sqrt{A}}{\sqrt{D}-\sqrt{A}}\right)}^2=4$$ と同値である。$0<A<D$ より分母は正なので，$$\frac{\sqrt{D}+\sqrt{A}}{\sqrt{D}-\sqrt{A}}=2$$ であり，$$\sqrt{D}+\sqrt{A}=2\sqrt{D}-2\sqrt{A}$$ より $$3\sqrt{A}=\sqrt{D}$$ すなわち $D=9A$ を得る。

最後に $D\mathrm{/}A$ を $k$ で表す。$a=-k$ として，(1)の公式を用いると $$b=\frac{-k+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$$ であるから $$A=b-a=b+k=\frac{\sqrt{3}(1+k^2)}{1+\sqrt{3}k}$$ である。また $$c=\tan (\theta +\frac{2\pi }{3})=\frac{k+\sqrt{3}}{\sqrt{3}k-1}$$ であるから $$D=c-a=c+k=\frac{\sqrt{3}(1+k^2)}{\sqrt{3}k-1}$$ である。したがって $$\frac{D}{A}=\frac{1+\sqrt{3}k}{\sqrt{3}k-1}$$ である。条件 $D=9A$ より $$\frac{1+\sqrt{3}k}{\sqrt{3}k-1}=9$$ であり，これを解くと $1+\sqrt{3}k=9\sqrt{3}k-9$ だから $10=8\sqrt{3}k$ である。よって $$k=\frac{5}{4\sqrt{3}}$$ である。この値は $1\mathrm{/}\sqrt{3}$ より大きいので，(2)の存在範囲にも含まれる。