横浜国立大学 2017年度理系数学第1問(2) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(2) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{3 sin x + 4 cos x}

を求めよ。

出典：横浜国立大学 2017年度前期理系第1問(2)

半角の置換 $u = tan (x /2)$ を用いる。 $sin x = 2 u / (1 + u^{2})$ 、 $cos x = (1 - u^{2}) / (1 + u^{2})$ 、 $d x = 2 d u / (1 + u^{2})$ により有理関数の積分に直し、部分分数分解する。

$3 sin x + 4 cos x$ を位相のずれた余弦 $5 cos (x - α)$ に合成し，正割関数の原始関数で積分する。

u = tan \frac{x}{2}

とおくと、 $x = 0$ で $u = 0$ 、 $x = π /2$ で $u = 1$ である。また

sin x = \frac{2 u}{1 + u ^{2}}, cos x = \frac{1 - u ^{2}}{1 + u ^{2}}, d x = \frac{2 d u}{1 + u ^{2}}

である。したがって

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{3 sin x + 4 cos x} = \int_{0}^{1} \frac{d u}{( 2 - u ) ( 2 u + 1 )}

となる。

ここで

\frac{1}{( 2 - u ) ( 2 u + 1 )} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2 - u} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 u + 1}

である。よって

\int_{0}^{1} \frac{d u}{( 2 - u ) ( 2 u + 1 )} = \frac{1}{5} [- lo g (2 - u) + lo g (2 u + 1)]_{0}^{1}

であるから

\frac{1}{5} lo g 6

を得る。

$cos α = 4/5, sin α = 3/5$ となる $0 < α < π /2$ を取ると

3 sin x + 4 cos x = 5 cos (x - α) .

したがって

\int_{0}^{π /2} \frac{d x}{3 sin x + 4 cos x} = \frac{1}{5} \int_{- α}^{π /2 - α} \frac{d u}{cos u} = \frac{1}{5} [lo g \frac{1 + sin u}{cos u}]_{- α}^{π /2 - α} .

上端では

\frac{1 + sin ( π /2 - α )}{cos ( π /2 - α )} = \frac{1 + 4/5}{3/5} = 3,

下端では

\frac{1 + sin ( - α )}{cos ( - α )} = \frac{1 - 3/5}{4/5} = \frac{1}{2} .

よって積分値は

\frac{1}{5} lo g \frac{3}{1/2} = \frac{1}{5} lo g 6.