横浜国立大学 2017年度理系数学第1問(1) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 関数 $f (x) = (3 - x) e^{x}$ について、関数の増減、極値、グラフの凹凸を調べ、 $y = f (x)$ のグラフの概形をかけ。ただし、 $lim_{x \to \infty} \frac{x}{e ^{x}} = 0$ は証明なしで用いてよい。

出典：横浜国立大学 2017年度前期理系第1問(1)

方針

解法1

$f^{'} (x)$ と $f^{''} (x)$ を計算して、増減、極値、凹凸を調べる。さらに切片、 $x \to - \infty$ 、 $x \to \infty$ の様子を確認してグラフの概形をまとめる。

解法2

指数関数が常に正であることを利用し， $f^{'}$ と $f^{''}$ の符号を一次因子だけで読む。切片と両端の極限を合わせて増減・凹凸表から作図する。

解答

解法1

(1)

f^{'} (x) = (2 - x) e^{x}, f^{''} (x) = (1 - x) e^{x}

である。 $e^{x} > 0$ より、 $f^{'} (x) > 0$ は $x < 2$ 、 $f^{'} (x) < 0$ は $x > 2$ である。したがって $f (x)$ は $x < 2$ で増加し、 $x > 2$ で減少する。また $x = 2$ で極大値

f (2) = e^{2}

をとる。

次に $f^{''} (x) > 0$ は $x < 1$ 、 $f^{''} (x) < 0$ は $x > 1$ である。したがって $x < 1$ で下に凸、 $x > 1$ で上に凸であり、 $x = 1$ で変曲点

(1, 2 e)

をもつ。

また $f (0) = 3$ 、 $f (3) = 0$ である。 $x \to - \infty$ のとき $f (x) \to 0$ で、 $x \to \infty$ のとき $f (x) \to - \infty$ である。以上を用いて、左側では $x$ 軸に近づき、 $(1, 2 e)$ で凹凸を変え、 $(2, e^{2})$ で極大となり、 $(3, 0)$ を通って右下へ下がるグラフとなる。

解法2

(1)

f^{'} (x) = (2 - x) e^{x}, f^{''} (x) = (1 - x) e^{x} .

$e^{x} > 0$ なので $x < 2$ で増加， $x > 2$ で減少し，

(2, e^{2})

が極大点である。また $x < 1$ で $f^{''} > 0$ ， $x > 1$ で $f^{''} < 0$ だから

(1, 2 e)

が変曲点である。

さらに $f (0) = 3, f (3) = 0$ で，

x \to - \infty lim f (x) = 0, x \to \infty lim f (x) = - \infty.

したがって左では $x$ 軸の上側から0へ近づき，変曲点を通って極大となり，その後 $(3, 0)$ を通って右下へ進む。

横浜国立大学 2017年度理系数学 第1問(1)

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

解法2

(1)

横浜国立大学 2017年度
理系数学第1問(1)