横浜国立大学 2017年度 前期理系数学 第5問

(1)
$a>0$、$x\geqq 0$ であるから$$a^2{x}^2-(y-b{)}^2\geqq 0$$は$$b-ax\leqq y\leqq b+ax$$と同値である。放物線 $y=x^2$ と直線 $y=b-ax$、$y=b+ax$ との正の交点の $x$ 座標をそれぞれ $s,r$ とすると$$s=\frac{\sqrt{a^2+4b}-a}{2},r=\frac{\sqrt{a^2+4b}+a}{2}$$である。このとき $r-s=a$、$rs=b$ である。

$0\leqq x\leqq s$ では上下の境界は2直線であり、$s\leqq x\leqq r$ では上が $b+ax$、下が $x^2$ である。よって$$S={\int }_0^{s}2axdx+{\int }_s^r(b+ax-x^2)dx$$である。第1項は $a{s}^2$ である。第2項は $x=s+u$ とおくと$${\int }_0^a(a-u)(2s+u)du=a^{2}s+\frac{a^3}{6}$$である。したがって$$S=a{s}^2+a^{2}s+\frac{a^3}{6}=as(s+a)+\frac{a^3}{6}=ab+\frac{a^3}{6}$$である。

(2)
条件より$$a=2\cos \theta ,b=\frac{3}{2}\sin \theta (0<\theta <\frac{\pi }{2})$$とおける。このとき$$S=ab+\frac{a^3}{6}=3\sin \theta \cos \theta +\frac{4}{3}{\cos }^3\theta$$である。

$u=\sin \theta$ とおくと $0<u<1$、$\cos \theta >0$ である。$S$ を $\theta$ で微分すると$$\frac{dS}{d\theta }=3({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )-4{\cos }^2\theta \sin \theta$$である。$u=\sin \theta$ を用いて $dS\mathrm{/}d\theta =0$ を整理すると$$4u^3-6u^2-4u+3=0$$すなわち$$(u-\frac{1}{2})(4u^2-4u-6)=0$$である。$0<u<1$ より $u=1\mathrm{/}2$ である。

このとき$$\sin \theta =\frac{1}{2},\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$$なので$$a=\sqrt{3},b=\frac{3}{4}$$である。端に近づく場合の値よりこれが最大であり、最大値は$$S=\sqrt{3}\cdot \frac{3}{4}+\frac{(\sqrt{3}{)}^3}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{4}$$である。

(1) は縦線による断面積を交点の和積で整理する。(2)は制約曲線上の内部極値をラグランジュの未定乗数法で求め，端の極限とも比較する。

(1) 正の交点を$$s=\frac{\sqrt{a^2+4b}-a}{2},r=\frac{\sqrt{a^2+4b}+a}{2}$$とすると $r-s=a,rs=b$ である。縦断面を積分して$$S={\int }_0^{s}2axdx+{\int }_s^r(b+ax-x^2)dx=ab+\frac{a^3}{6}\mathrm{.}$$(2) 制約を$$G(a,b)=\frac{a^2}{4}+\frac{4b^2}{9}=1$$とする。内部極値では$$b+\frac{a^2}{2}=\lambda \frac{a}{2},a=\lambda \frac{8b}{9}\mathrm{.}$$$\lambda$ を消去し，制約も用いると$$32b^3-72b^2-72b+81=0,$$すなわち$$(4b-3)(8b^2-12b-27)=0.$$$0<b<3\mathrm{/}2$ にある解は $b=3\mathrm{/}4$ だけで，制約から$$a=\sqrt{3}\mathrm{.}$$端へ近づくと $a\to 0$ では $S\to 0$，$a\to 2,b\to 0$ では $S\to 4\mathrm{/}3$ である。一方この内部点では$$S=\sqrt{3}\cdot \frac{3}{4}+\frac{(\sqrt{3}{)}^3}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{4}>\frac{4}{3}\mathrm{.}$$したがって最大値は $5\sqrt{3}\mathrm{/}4$，そのとき$$(a,b)=(\sqrt{3},\frac{3}{4})\mathrm{.}$$