横浜国立大学 2017年度理系数学第5問解答・解説

問題

正の実数 $a, b$ に対して、連立不等式

⎩ ⎨ ⎧ x ≧ 0, y ≧ x^{2}, a^{2} x^{2} - (y - b)^{2} ≧ 0

が表す $x y$ 平面上の領域の面積を $S$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $S$ を $a, b$ の式で表せ。

(2) $a, b$ が

\frac{a ^{2}}{4} + \frac{4 b ^{2}}{9} = 1 (a, b > 0)

をみたしながら動くとき、 $S$ の最大値およびそのときの $a, b$ の値を求めよ。

出典：横浜国立大学 2017年度前期理系第5問

方針

解法1

不等式 $a^{2} x^{2} - (y - b)^{2} ≧ 0$ を $b - a x ≦ y ≦ b + a x$ と直す。下側が直線 $b - a x$ になる部分と放物線 $y = x^{2}$ になる部分に分けて面積を積分し、 $S = ab + a^{3} /6$ を得る。(2) は楕円条件を $a = 2 cos θ, b = 3 sin θ /2$ とおいて1変数で最大化する。

解法2

(1)は縦線による断面積を交点の和積で整理する。(2)は制約曲線上の内部極値をラグランジュの未定乗数法で求め，端の極限とも比較する。

解答

解法1

(1)

$a > 0$ 、 $x ≧ 0$ であるから

a^{2} x^{2} - (y - b)^{2} ≧ 0

は

b - a x ≦ y ≦ b + a x

と同値である。放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = b - a x$ 、 $y = b + a x$ との正の交点の $x$ 座標をそれぞれ $s, r$ とすると

s = \frac{a ^{2} + 4 b - a}{2}, r = \frac{a ^{2} + 4 b + a}{2}

である。このとき $r - s = a$ 、 $r s = b$ である。

$0 ≦ x ≦ s$ では上下の境界は2直線であり、 $s ≦ x ≦ r$ では上が $b + a x$ 、下が $x^{2}$ である。よって

S = \int_{0}^{s} 2 a x d x + \int_{s}^{r} (b + a x - x^{2}) d x

である。第1項は $a s^{2}$ である。第2項は $x = s + u$ とおくと

\int_{0}^{a} (a - u) (2 s + u) d u = a^{2} s + \frac{a ^{3}}{6}

である。したがって

S = a s^{2} + a^{2} s + \frac{a ^{3}}{6} = a s (s + a) + \frac{a ^{3}}{6} = ab + \frac{a ^{3}}{6}

である。

(2)

条件より

a = 2 cos θ, b = \frac{3}{2} sin θ (0 < θ < \frac{π}{2})

とおける。このとき

S = ab + \frac{a ^{3}}{6} = 3 sin θ cos θ + \frac{4}{3} cos^{3} θ

である。

$u = sin θ$ とおくと $0 < u < 1$ 、 $cos θ > 0$ である。 $S$ を $θ$ で微分すると

\frac{d S}{d θ} = 3 (cos^{2} θ - sin^{2} θ) - 4 cos^{2} θ sin θ

である。 $u = sin θ$ を用いて $d S / d θ = 0$ を整理すると

4 u^{3} - 6 u^{2} - 4 u + 3 = 0

すなわち

(u - \frac{1}{2}) (4 u^{2} - 4 u - 6) = 0

である。 $0 < u < 1$ より $u = 1/2$ である。

このとき

sin θ = \frac{1}{2}, cos θ = \frac{3}{2}

なので

a = 3, b = \frac{3}{4}

である。端に近づく場合の値よりこれが最大であり、最大値は

S = 3 \cdot \frac{3}{4} + \frac{( 3 ) ^{3}}{6} = \frac{5 3}{4}

である。

解法2

(1)

正の交点を

s = \frac{a ^{2} + 4 b - a}{2}, r = \frac{a ^{2} + 4 b + a}{2}

とすると $r - s = a, r s = b$ である。縦断面を積分して

S = \int_{0}^{s} 2 a x d x + \int_{s}^{r} (b + a x - x^{2}) d x = ab + \frac{a ^{3}}{6} .

(2)

制約を

G (a, b) = \frac{a ^{2}}{4} + \frac{4 b ^{2}}{9} = 1

とする。内部極値では

b + \frac{a ^{2}}{2} = λ \frac{a}{2}, a = λ \frac{8 b}{9} .

$λ$ を消去し，制約も用いると

32 b^{3} - 72 b^{2} - 72 b + 81 = 0,

すなわち

(4 b - 3) (8 b^{2} - 12 b - 27) = 0.

$0 < b < 3/2$ にある解は $b = 3/4$ だけで，制約から

a = 3 .

端へ近づくと $a \to 0$ では $S \to 0$ ， $a \to 2, b \to 0$ では $S \to 4/3$ である。一方この内部点では

S = 3 \cdot \frac{3}{4} + \frac{( 3 ) ^{3}}{6} = \frac{5 3}{4} > \frac{4}{3} .

したがって最大値は $53 /4$ ，そのとき

(a, b) = (3, \frac{3}{4}) .

横浜国立大学 2017年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

横浜国立大学 2017年度
理系数学第5問