横浜国立大学 2019年度 前期文系数学 第2問

(1)
正四面体の1辺の長さが1であるから$$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$$である。$M$ は辺 $OB$ の中点，$N$ は辺 $AC$ の中点なので$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\vec{b},\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})$$である。したがって$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})$$であり，$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{MN}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1}{4}\{3+2\vec{a}\cdot \vec{c}-2\vec{a}\cdot \vec{b}-2\vec{b}\cdot \vec{c}\}=\frac{1}{2}$$となる。よって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{MN}\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{2}}$$である。

(2)
直線 $MN$ 上の点を$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+t\overrightarrow{MN}=\frac{t}{2}\vec{a}+\frac{1-t}{2}\vec{b}+\frac{t}{2}\vec{c}$$と表す。平面 $DEF$ 上の点 $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}$ は$$2\alpha +\frac{3}{2}\beta +\frac{5}{2}\gamma =1$$をみたす。ここに $$\alpha ={\displaystyle \frac{t}{2}}$$, $$\beta ={\displaystyle \frac{1-t}{2}}$$, $$\gamma ={\displaystyle \frac{t}{2}}$$ を代入すると$$t+\frac{3(1-t)}{4}+\frac{5t}{4}=1$$であるから，$$t={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ である。したがって$$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{12}\vec{a}+\frac{5}{12}\vec{b}+\frac{1}{12}\vec{c}$$である。

(3)
(2)より $$\overrightarrow{MP}={\displaystyle \frac{1}{6}}\overrightarrow{MN}$$ である。したがって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{MP}\mathrm{\mid }=\frac{1}{6}\mathrm{\mid }\overrightarrow{MN}\mathrm{\mid }=\frac{1}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{12}$$である。

直線 $MN$ 上の位置を内分パラメータ $s$ で表し、同じ点を平面 $DEF$ 上のアフィン結合でも表す。$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の係数比較だけで $s$ を決定する。

点の配置を先に図で整理する。

(1)
$M,N$ の位置ベクトルから$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})$$である。正四面体では異なる2辺方向の内積がすべて $1\mathrm{/}2$ なので$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{MN}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1}{4}(3+1-1-1)=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$したがって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{MN}\mathrm{\mid }=1\mathrm{/}\sqrt{2}$$ である。

(2)
$P$ を $M$ から $N$ へ $s$ 進んだ点とすると$$\begin{array}{cccc}& \overrightarrow{OP}=\frac{s}{2}\vec{a}+\frac{1-s}{2}\vec{b}+\frac{s}{2}\vec{c}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$一方、$P$ は平面 $DEF$ 上にあるから、実数 $u,v$ を用いて$$\begin{array}{cccc}& \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OD}+u\overrightarrow{DE}+v\overrightarrow{DF}=\frac{1-u-v}{2}\vec{a}+\frac{2u}{3}\vec{b}+\frac{2v}{5}\vec{c}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(1),(2)の係数を比べると$$s=1-u-v,u=\frac{3(1-s)}{4},v=\frac{5s}{4}\mathrm{.}$$後2式を初めの式へ代入して$$s=1-\frac{3(1-s)}{4}-\frac{5s}{4}=\frac{1}{4}-\frac{s}{2}$$より $s=1\mathrm{/}6$ である。よって$$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{12}\vec{a}+\frac{5}{12}\vec{b}+\frac{1}{12}\vec{c}\mathrm{.}$$(3)
$MP:MN=s:1=1:6$ だから$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{MP}\mathrm{\mid }=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{12}\mathrm{.}$$