横浜国立大学 2020年度理系数学第1問(1) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 関数

f (x) = (e^{x} - 1) cos x - sin x (- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2})

の増減と極値を調べ、そのグラフの概形を描け。ただし、グラフの凹凸と変曲点は調べなくてよい。

出典：横浜国立大学 2020年度前期理系第1問(1)

導関数を $(e^{x} - 1) (cos x - sin x)$ と因数分解する。それぞれの因子が0になる $x = 0, π /4$ で区間を分け、増減表、端点値、極値をグラフへ反映する。

導関数の二因子を別々の符号表にし、符号の積だけで増減を決める。グラフについては、増減に加えて4つの主要値と極大値の正負を確認する。

微分すると

f^{'} (x) = e^{x} cos x - (e^{x} - 1) sin x - cos x = (e^{x} - 1) (cos x - sin x) .

区間内で

e^{x} - 1 ⎩ ⎨ ⎧ < 0 = 0 > 0 (x < 0), (x = 0), (x > 0)

である。また

cos x - sin x = 2 cos (x + \frac{π}{4})

より、その符号は $x = π /4$ の前後で正から負へ変わる。

したがって

x f^{'} (x) f (x) - \frac{π}{2} 1 - ↘ 000 + ↗ \frac{π}{4} 0 \frac{2}{2} (e^{π /4} - 2) - ↘ \frac{π}{2} - 1

となる。

よって $x = 0$ で極小値

0

をとり、 $x = π /4$ で極大値

\frac{2}{2} (e^{π /4} - 2)

をとる。この極大値は正である。

導関数は

f^{'} (x) = (e^{x} - 1) (cos x - sin x)

である。二因子の符号を並べると

x e^{x} - 1 cos x - sin x f^{'} (x) (- \frac{π}{2}, 0) - + - 00 + 0 (0, \frac{π}{4}) + + + \frac{π}{4} + 00 (\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) + - -

となる。したがって、順に減少・増加・減少である。

主要な値は

f (- \frac{π}{2}) = 1, f (0) = 0,

f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (e^{π /4} - 2), f (\frac{π}{2}) = - 1.

また

e^{π /4} > 1 + \frac{π}{4} + \frac{1}{2} (\frac{π}{4})^{2} > 2

だから、極大値は正である。

よって極小値は

f (0) = 0,

極大値は

f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (e^{π /4} - 2)

であり、グラフは解法1の図の形になる。