横浜国立大学 2024年度理系数学第1問(1) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 定積分

\int_{0}^{l o g 3} \frac{e ^{3 x} + 4 e ^{2 x} + e ^{x}}{e ^{4 x} + 2 e ^{2 x} + 1} d x

を求めよ。

出典：横浜国立大学 2024年度前期理系第1問(1)

$u = e^{x}$ とおいて積分区間を変換する。分母を $(u^{2} + 1)^{2}$ と見て、被積分関数を三角置換する項と分母の微分で積分できる項に分ける。

元の $x$ のまま2項に分ける。一方を $tan θ = e^{x}$ で定めた角の微分、他方を分数関数の微分として認識し、端点だけを代入する。

$u = e^{x}$ とおくと、 $d x = d u / u$ であり、 $x = 0, lo g 3$ はそれぞれ $u = 1, 3$ に対応する。したがって

I = \int_{1}^{3} \frac{u ^{2} + 4 u + 1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u = \int_{1}^{3} {\frac{1}{u ^{2} + 1} + \frac{4 u}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}}} d u

である。

第1項で $u = tan θ$ とおけば、 $θ$ は $π /4$ から $π /3$ まで動き、

\int_{1}^{3} \frac{d u}{u ^{2} + 1} = \int_{π /4}^{π /3} d θ = \frac{π}{12}

となる。また、

\int_{1}^{3} \frac{4 u}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u = [- \frac{2}{u ^{2} + 1}]_{1}^{3} = - \frac{1}{2} - (- 1) = \frac{1}{2}

である。ゆえに

I = \frac{π}{12} + \frac{1}{2}

である。

分母は $(1 + e^{2 x})^{2}$ であるから、被積分関数は

\frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}} + \frac{4 e ^{2 x}}{( 1 + e ^{2 x} ) ^{2}}

と分けられる。

$0 ≦ x ≦ lo g 3$ で

tan θ (x) = e^{x}, \frac{π}{4} ≦ θ (x) ≦ \frac{π}{3}

と定める。両辺を微分すると

θ^{'} (x) = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}}

である。一方、

(\frac{2 e ^{2 x}}{1 + e ^{2 x}})^{'} = \frac{4 e ^{2 x}}{( 1 + e ^{2 x} ) ^{2}}

である。したがって

I = [θ (x) + \frac{2 e ^{2 x}}{1 + e ^{2 x}}]_{0}^{l o g 3} .

角の差は $π /3 - π /4 = π /12$ 、分数部分の差は

\frac{2 \cdot 3}{1 + 3} - \frac{2}{1 + 1} = \frac{1}{2}

なので、

I = \frac{π}{12} + \frac{1}{2}

を得る。