横浜国立大学 2024年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上に，原点 $O$ を中心とする半径1の円 $C$ がある。さらに， $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して，中心 $O_{n}$ ，半径 $r_{n}$ の円 $C_{n}$ があり，以下の(i)，(ii)，(iii)をみたす。

(i)　点 $O_{1}$ の座標は $(1 - r_{1}, 0)$ であり，かつ $r_{1} < 1$ である。

(ii)　 $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して， $C_{n + 1}$ は $C$ に内接し， $C_{n + 1}$ と $C_{n}$ は外接する。

(iii)　 $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して，半直線 $O O_{n + 1}$ は， $O$ を中心として半直線 $O O_{n}$ を時計の針の回転と逆向きに $2 θ_{n}$ 回転したものであり， $0 < 2 θ_{n} < π$ である。

次の問いに答えよ。

(1) $sin^{2} θ_{1}$ を $r_{1}$ ， $r_{2}$ の式で表せ。

以下， $r_{n} = \frac{1}{2 ^{n + 1} + 1}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）とする。

(2) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して， $sin θ_{n}$ を $n$ の式で表せ。

(3) $0 < x < \frac{π}{6}$ に対して，

sin x < x < sin x + \frac{1}{5} sin^{3} x

を示せ。必要ならば， $3.14 < π < 3.15$ を用いてよい。

(4) 極限値 $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} θ_{k}$ は存在し，その極限値を $α$ とおく。 $α$ の小数第2位まで（小数第3位切り捨て）を求めよ。必要ならば， $1.41 < 2 < 1.42$ を用いてよい。

出典：横浜国立大学 2024年度前期理系第5問

方針

解法1：余弦定理と微分による不等式

接する3円の中心が作る三角形に余弦定理を用いる。指定半径では $sin θ_{n}$ が等比数列になる。(3)を微分で証明し、その評価を各 $θ_{n}$ へ適用して無限和を挟む。

解法2：半角公式と積分評価

中心三角形の半周長が1になることに注目し、三角形の半角公式で $sin^{2} θ_{n}$ を直接出す。(3)は積分評価と $sin x$ の凹性で示し、同じはさみうちへつなげる。

解答

解法1：余弦定理と微分による不等式

(1)

O O_{1} = 1 - r_{1}, O O_{2} = 1 - r_{2}, O_{1} O_{2} = r_{1} + r_{2}

であり、 $∠ O_{1} O O_{2} = 2 θ_{1}$ である。余弦定理より

(r_{1} + r_{2})^{2} = (1 - r_{1})^{2} + (1 - r_{2})^{2} - 2 (1 - r_{1}) (1 - r_{2}) cos 2 θ_{1} .

$cos 2 θ_{1} = 1 - 2 sin^{2} θ_{1}$ を代入して整理すると

sin^{2} θ_{1} = \frac{r _{1} r _{2}}{( 1 - r _{1} ) ( 1 - r _{2} )}

である。

(2)

同じ計算を $C_{n}, C_{n + 1}$ に行うと

sin^{2} θ_{n} = \frac{r _{n} r _{n + 1}}{( 1 - r _{n} ) ( 1 - r _{n + 1} )} .

ここで

\frac{r _{n}}{1 - r _{n}} = \frac{1}{2 ^{n + 1}}

だから

sin^{2} θ_{n} = \frac{1}{2 ^{2 n + 3}} .

$0 < θ_{n} < π /2$ より

sin θ_{n} = \frac{1}{2 ^{n + 1} 2}

である。

(3)

$x - sin x$ の導関数は $1 - cos x > 0$ なので

sin x < x

である。次に

g (x) = sin x + \frac{1}{5} sin^{3} x - x

とおくと

g^{'} (x) = \frac{( 1 - cos x ) ( 3 cos ^{2} x + 3 cos x - 5 )}{5} .

$3 u^{2} + 3 u - 5$ は $u > 0$ で単調増加し、 $cos x$ は単調減少するから、 $g^{'}$ の符号は区間内で高々1回、正から負へ変わる。よって $g$ の最小値は端点で取られる。

g (0) = 0, g (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{40} - \frac{π}{6} > 0

であり、最後は $π < 3.15$ から従う。したがって $0 < x < π /6$ で

x < sin x + \frac{1}{5} sin^{3} x

である。

(4)

$sin θ_{1} = 1/ (42) < 1/2$ で、 $sin θ_{n}$ は減少するため、すべての $θ_{n}$ に(3)を適用できる。各項が正なので部分和は増加し、また

k = 1 \sum \infty θ_{k} < k = 1 \sum \infty (sin θ_{k} + \frac{1}{5} sin^{3} θ_{k})

の右辺は収束する。よって極限 $α$ は存在する。

等比級数を計算すると

k = 1 \sum \infty sin θ_{k} = \frac{2}{4}, k = 1 \sum \infty \frac{1}{5} sin^{3} θ_{k} = \frac{2}{1120} .

したがって

\frac{2}{4} < α < \frac{2}{4} + \frac{2}{1120} .

$1.41 < 2 < 1.42$ より

0.3525 < α < 0.3563.

この区間の数はすべて小数第3位を切り捨てると

0.35

となる。

解法2：半角公式と積分評価

(1)

$△ O O_{1} O_{2}$ の3辺は

1 - r_{1}, 1 - r_{2}, r_{1} + r_{2}

で、その和は2、したがって半周長は1である。角 $2 θ_{1}$ は最初の2辺の間の角なので、三角形の半角公式から

sin^{2} θ_{1} = \frac{{ 1 - ( 1 - r _{1} )} { 1 - ( 1 - r _{2} )}}{( 1 - r _{1} ) ( 1 - r _{2} )} = \frac{r _{1} r _{2}}{( 1 - r _{1} ) ( 1 - r _{2} )} .

(2)

同様に

sin^{2} θ_{n} = \frac{r _{n}}{1 - r _{n}} \frac{r _{n + 1}}{1 - r _{n + 1}} = \frac{1}{2 ^{n + 1}} \frac{1}{2 ^{n + 2}} .

$θ_{n}$ は鋭角なので

sin θ_{n} = \frac{1}{2 ^{n + 1} 2} .

(3)

x - sin x = \int_{0}^{x} (1 - cos t) d t = \int_{0}^{x} 2 sin^{2} \frac{t}{2} d t < \int_{0}^{x} \frac{t ^{2}}{2} d t = \frac{x ^{3}}{6},

ここで $sin (t /2) < t /2$ を用いた。一方、 $sin x$ は $[0, π /6]$ で上に凸なので、グラフは両端を結ぶ弦より上にあり、

sin x > \frac{sin ( π /6 )}{π /6} x = \frac{3}{π} x .

$π < 3.15$ から

5 π^{3} < 5 (3.15)^{3} < 162

である。よって

\frac{x ^{3}}{6} < \frac{1}{5} (\frac{3 x}{π})^{3} < \frac{1}{5} sin^{3} x .

以上より

sin x < x < sin x + \frac{1}{5} sin^{3} x .

(4)

$sin θ_{k} = 1/ (2^{k + 1} 2)$ であり、 $θ_{k} < π /6$ だから(3)より

k = 1 \sum n sin θ_{k} < k = 1 \sum n θ_{k} < k = 1 \sum n sin θ_{k} + \frac{1}{5} k = 1 \sum n sin^{3} θ_{k} .

左右はそれぞれ収束する等比級数であるため、中央の増加列も上に有界で収束する。極限を取ると

\frac{2}{4} < α < \frac{2}{4} + \frac{2}{1120} .

$1.41 < 2 < 1.42$ を代入すれば

0.3525 < α < 0.3563

となるので、指定された値は

0.35

である。

横浜国立大学 2024年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1：余弦定理と微分による不等式

解法2：半角公式と積分評価

解答

解法1：余弦定理と微分による不等式

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2：半角公式と積分評価

(1)

(2)

(3)

(4)

横浜国立大学 2024年度
理系数学第5問