問題
四面体において，点，，は，それぞれ辺，，を，，の比に内分する。点との重心を通る直線が平面と交わる点をとする。ベクトル，，をそれぞれ，，とおく。次の問いに答えよ。
(1) を，で表せ。
さらに，，，，であり，直線が平面に直交しているとする。
(2) ，を求めよ。
(3) の面積を求めよ。
(4) 四面体の体積を求めよ。
出典：横浜国立大学 2024年度 前期 理系 第3問
方針
解法1：直線の媒介表示と底面・高さ
と重心の位置ベクトルを求め、直線を媒介表示してを出す。垂直条件を2本の内積方程式にし、底面積と高さから体積を求める。
解法2：射影とグラム行列
をの平面への正射影と見る。射影係数から長さを決め、面積と体積はそれぞれ2次・3次のグラム行列式で一括して計算する。
解答
解法1：直線の媒介表示と底面・高さ
(1)
内分比と重心の公式から
であり、
である。直線上の点の位置ベクトルは
と表せる。平面上ではの係数が0なので
したがって
である。
(2)
これが平面に垂直であるから、との内積がともに0である。よって
これらを解くと
したがって
である。
(3)
の面積をとすると
(4)
はから平面へ下ろした垂線の足である。内積を展開すると
よって高さはである。したがって四面体の体積は
である。
解法2：射影とグラム行列
(1)
からへ割合だけ進んだ点はである。平面上ではの係数が0だからとなり、
(2)
はの平面への正射影である。とおくと
よって
(3)
(4)
3本のベクトルのグラム行列式は
したがって平行六面体の体積は、四面体の体積は
である。