横浜国立大学 2024年度 前期理系数学 第3問

(1)
内分比と重心の公式から$$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{a},\overrightarrow{OQ}=\frac{2}{3}\vec{b},\overrightarrow{OR}=\frac{3}{4}\vec{c}$$であり、$$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{3}{4}\vec{c})=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{2}{9}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$$である。直線$CG$上の点の位置ベクトルは$$\vec{c}+t(\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{2}{9}\vec{b}-\frac{3}{4}\vec{c})$$と表せる。平面$OAB$上では$\vec{c}$の係数が0なので$$1-\frac{3}{4}t=0,t=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{OH}=\frac{2}{9}\vec{a}+\frac{8}{27}\vec{b}$$である。

(2) $$\overrightarrow{CH}=\frac{2}{9}\vec{a}+\frac{8}{27}\vec{b}-\vec{c}\mathrm{.}$$これが平面$OAB$に垂直であるから、$\vec{a},\vec{b}$との内積がともに0である。よって$$\frac{2}{9}\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\frac{8}{27}\cdot 3-1=0,\frac{2}{9}\cdot 3+\frac{8}{27}\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2-9=0.$$これらを解くと$$\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{1}{2},\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{225}{8},$$したがって$$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{2}},\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\frac{15}{2\sqrt{2}}$$である。

(3)
$\mathrm{△}OAB$の面積を$S$とすると$$S=\frac{1}{2}\sqrt{\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \frac{225}{8}-9}=\frac{9}{8}\mathrm{.}$$(4)
$H$は$C$から平面$OAB$へ下ろした垂線の足である。内積を展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }CH{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle ={\mid \frac{2}{9}\vec{a}+\frac{8}{27}\vec{b}-\vec{c}\mid }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{9},}\end{array}$$よって高さは$1\mathrm{/}3$である。したがって四面体の体積は$$\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{8}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{8}$$である。

$H$を$C$の平面$OAB$への正射影と見る。射影係数から長さを決め、面積と体積はそれぞれ2次・3次のグラム行列式で一括して計算する。

(1) $$\vec{g}=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{2}{9}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}\mathrm{.}$$$C$から$G$へ割合$t$だけ進んだ点は$(1-t)\vec{c}+t\vec{g}$である。平面$OAB$上では$\vec{c}$の係数が0だから$t=4\mathrm{/}3$となり、$$\overrightarrow{OH}=\frac{2}{9}\vec{a}+\frac{8}{27}\vec{b}\mathrm{.}$$(2)
$H$は$C$の平面$OAB$への正射影である。$$A=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2,B=\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2$$とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1}& {\displaystyle =\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{2}{9}A+\frac{8}{27}\cdot 3,}\\ {\displaystyle 9}& {\displaystyle =\vec{c}\cdot \vec{b}=\frac{2}{9}\cdot 3+\frac{8}{27}B\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\frac{1}{\sqrt{2}},\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\frac{15}{2\sqrt{2}}\mathrm{.}$$(3)$$[\mathrm{△}OAB]=\frac{1}{2}\sqrt{\det \left(\begin{array}{cc}1\mathrm{/}2& 3\\ 3& 225\mathrm{/}8\end{array}\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{81}{16}}=\frac{9}{8}\mathrm{.}$$(4)
3本のベクトルのグラム行列式は$$\det \left(\begin{array}{ccc}1\mathrm{/}2& 3& 1\\ 3& 225\mathrm{/}8& 9\\ 1& 9& 3\end{array}\right)=\frac{9}{16}\mathrm{.}$$したがって平行六面体の体積は$3\mathrm{/}4$、四面体の体積は$$\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{8}$$である。