横浜国立大学 2025年度 前期 微分・三角関数理系数学 第1問(1)

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1+2\sin x}{(2+\sin x{)}^2}$$である。分母は正であるから，$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$となるのは$\sin x=-1\mathrm{/}2$，すなわち$$x=\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$$である。したがって，$f(x)$は$$(0,7\pi \mathrm{/}6)\text{で減少},(7\pi \mathrm{/}6,11\pi \mathrm{/}6)\text{で増加},(11\pi \mathrm{/}6,2\pi )\text{で減少}$$する。極小値は$$f\left(\frac{7\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$であり，極大値は$$f\left(\frac{11\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$である。

次に$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{2\cos x(1-\sin x)}{(2+\sin x{)}^3}$$である。よって$C$は$$(0,\pi \mathrm{/}2)\text{と}(3\pi \mathrm{/}2,2\pi )\text{で上に凸},(\pi \mathrm{/}2,3\pi \mathrm{/}2)\text{で下に凸}$$である。変曲点は$$(\frac{\pi }{2},0),(\frac{3\pi }{2},0)$$である。さらに$x\to 0+0$，$x\to 2\pi -0$で$f(x)\to 1\mathrm{/}2$である。以上を用いて概形を描けばよい。

以上の符号情報を座標まで反映すると、概形は次のようになる。定義域の両端は白丸で表した。