横浜国立大学 2025年度 前期 確率・ベクトル理系数学 第2問

(1)
出目1と6は同じ点を与え，出目2，3，4，5はそれぞれ別の点を与える。したがって3点が一致する場合の数は$$2^3+1^3+1^3+1^3+1^3=12$$である。全事象は$6^3=216$通りなので，確率は$$\frac{12}{216}=\frac{1}{18}$$である。

(2)
出目を5で割った余りで考える。ただし余り1に対応する出目は1と6の2通り，その他の余りに対応する出目は1通りである。正五角形の頂点方向を$0,1,2,3,4$で表し、その単位ベクトルを ${\vec{e}}_i$ とする。和の公式から$${\vec{e}}_i+{\vec{e}}_j=2\cos \frac{(i-j)\pi }{5}(\cos \frac{(i+j)\pi }{5},\sin \frac{(i+j)\pi }{5})$$である。係数は0にならないので、この和が ${\vec{e}}_k$ と平行（逆向きも含む）になる条件は、方向角を $\pi$ を法として比較して$$2k\equiv i+j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$$である。各余りの重みを$m_0=m_2=m_3=m_4=1$，$m_1=2$とする。固定した $k$ に対し、$i+j\equiv 2k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ を満たす順序付きの $(i,j)$ の重みの和へ、さらに第3投の重み $m_k$ を掛ける。具体的には$$\begin{array}{cccccc}k& 0& 1& 2& 3& 4\\ m_k& 1& 2& 1& 1& 1\\ (i,j)\text{ の重みの和}& 7& 8& 7& 7& 7\\ \text{3投全体の通り数}& 7& 16& 7& 7& 7\end{array}$$となる。したがって合計は $7+16+7+7+7=44$ 通りである。したがって求める確率は$$\frac{44}{216}=\frac{11}{54}$$である。

(3)
(2)の44通りのうち，$n_1,n_2,n_3$がすべて奇数であるものは$$(1,1,1),(1,5,3),(3,3,3),(5,1,3),(5,5,5)$$の5通りである。よって条件付き確率は$$\frac{5}{44}$$である。