広島大学 2020年度 前期理系数学 第1問

配置は次図のようになる。

(1)

余弦定理より$$AB=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \theta }\mathrm{.}$$(2)

三角形の面積は $ab\sin \theta \mathrm{/}2$ である。また $AD=AB\mathrm{/}3$ だから、長方形の面積は $A{B}^2\mathrm{/}3$ である。よって$$S=\frac{1}{2}ab\sin \theta +\frac{a^2+b^2-2ab\cos \theta }{3}\mathrm{.}$$(3)$$S=\frac{a^2+b^2}{3}+\frac{ab}{6}(3\sin \theta -4\cos \theta )\mathrm{.}$$ここで $\alpha$ を$$\cos \alpha =\frac{3}{5},\sin \alpha =-\frac{4}{5}$$を満たす第4象限の角とすると$$3\sin \theta -4\cos \theta =5\sin (\theta +\alpha )\mathrm{.}$$$0<\theta <\pi$ の範囲で右辺は最大値5をとる。したがって$$M=\frac{a^2+b^2}{3}+\frac{5}{6}ab=\frac{2a^2+5ab+2b^2}{6}\mathrm{.}$$最大時には$$\sin \beta =\frac{3}{5},\cos \beta =-\frac{4}{5}\mathrm{.}$$(4)$$A{B}^2={16}^2+{25}^2-2\cdot 16\cdot 25(-\frac{4}{5})=1521$$より $AB=39$ である。求める距離を $h$ とすると$$\frac{1}{2}\cdot 39h=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 25\cdot \frac{3}{5}\mathrm{.}$$よって$$h=\frac{80}{13}\mathrm{.}$$

面積表示までは余弦定理で求める。最大値については、単位ベクトル $(\sin \theta ,\cos \theta )$ とベクトル $(3,-4)$ の内積をコーシー・シュワルツの不等式で評価し、等号条件から $\beta$ を決める。

(1)

余弦定理より$$AB=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \theta }\mathrm{.}$$(2)

また $AD=AB\mathrm{/}3$ であるから、三角形と長方形の面積を足して$$S=\frac{a^2+b^2}{3}+\frac{ab}{6}(3\sin \theta -4\cos \theta )\mathrm{.}$$(3)

コーシー・シュワルツの不等式より$$3\sin \theta -4\cos \theta \leqq \sqrt{3^2+(-4{)}^2}\sqrt{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }=5.$$等号は$$(\sin \theta ,\cos \theta )=(\frac{3}{5},-\frac{4}{5})$$のときに成り立つ。この組は $0<\theta <\pi$ を満たすので、$$M=\frac{2a^2+5ab+2b^2}{6},\sin \beta =\frac{3}{5},\cos \beta =-\frac{4}{5}\mathrm{.}$$(4)

$a=16,b=25$ のとき$$AB=39,[\mathrm{△}PAB]=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 25\cdot \frac{3}{5}=120.$$したがって、点 $P$ から直線 $AB$ までの距離は$$\frac{2[\mathrm{△}PAB]}{AB}=\frac{240}{39}=\frac{80}{13}\mathrm{.}$$