広島大学 2022年度 前期理系数学 第2問

(1)
$BC$は$x$軸上にあり，$$\overrightarrow{BI}=(1,t)$$であるから$$\tan \theta =t$$である。よって$$t=\tan \theta$$である。また，$BI$は$\mathrm{\angle }ABC$の二等分線であるから$$\mathrm{\angle }ABC=2\theta$$である。直線$BA$の傾きは$a$であるから$$a=\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$$である。

(2)
(1)より$t=\tan \theta$であるから$$a=\frac{2t}{1-t^2}$$である。

(3)
重心は$$(0,\frac{a}{3})$$である。内接円$S$の中心は$(0,t)$，半径は$t$であるから，重心が周上にある条件は$$\mid \frac{a}{3}-t\mid =t$$である。$a>0$より$$a=6t$$となる。これを(2)に代入すると$$\frac{2t}{1-t^2}=6t$$であり，$t>0$より$$t=\frac{\sqrt{6}}{3}$$である。

(4)
対称性より垂心は$y$軸上にある。直線$AC$の傾きは$-a$であるから，$B$を通る高さは傾き$\frac{1}{a}$の直線である。したがって垂心は$$(0,\frac{1}{a})$$である。これが内接円$S$の周上にある条件は$$\mid \frac{1}{a}-t\mid =t$$であり，$\frac{1}{a}>0$より$$\frac{1}{a}=2t$$である。よって(2)を用いて$$\frac{2t}{1-t^2}=\frac{1}{2t}$$となり，$$t=\frac{\sqrt{5}}{5}$$である。

(5)
外心を$(0,u)$とおく。$A$と$B$から等距離であるから$$(u-a{)}^2=1+u^2$$であり，$$u=\frac{a^2-1}{2a}$$である。外心が内接円$S$の周上にある条件は$$\mathrm{\mid }u-t\mathrm{\mid }=t$$であるから，$u=0$または$u=2t$である。

$u=0$のとき，$a=1$である。(2)より$$\frac{2t}{1-t^2}=1$$となるので$$t=\sqrt{2}-1$$である。

$u=2t$のとき，(2)を用いて整理すると$$7t^4-2t^2-1=0$$である。$t^2$について解くと，$0<t<1$より$$t^2=\frac{1+2\sqrt{2}}{7}$$である。したがって$$t=\sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{7}}$$である。以上より，求める値は$$t=\sqrt{2}-1,t=\sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{7}}$$である。

(1) は角の二等分線から三角比を読む。(2)は三角形の面積が
「内接円半径×半周長」であることを使い、三角関数の倍角公式を使わずに
$a$ と $t$ の関係を導く。その後、対称軸上にある重心・垂心・外心の
$y$ 座標を内接円の上下端 $0,2t$ と比較する。

(1) $$\overrightarrow{BI}=(1,t)$$ であり、$BI$ は頂点 $B$ の角の二等分線だから$$t=\tan \theta ,a=\tan 2\theta \mathrm{.}$$(2)$$AB=AC=\sqrt{1+a^2}$$、$BC=2$ で、三角形の面積は $a$ である。
「面積＝内接円半径×半周長」より$$a=t(1+\sqrt{1+a^2})⟹(a-t{)}^2=t^2(1+a^2)⟹a=\frac{2t}{1-t^2}\mathrm{.}$$(3)
重心の $y$ 座標は $a\mathrm{/}3$、円の $y$ 軸上の周上点は $0,2t$ だから$$\frac{a}{3}=2t⟹\frac{2t}{1-t^2}=6t⟹t=\frac{\sqrt{6}}{3}\mathrm{.}$$(4)
垂心は $(0,1\mathrm{/}a)$ だから周上条件は $1\mathrm{/}a=2t$。よって$$\frac{2t}{1-t^2}=\frac{1}{2t}⟹t=\frac{\sqrt{5}}{5}\mathrm{.}$$(5)
外心 $(0,u)$ について、$OA=OB$ と周上条件から$$u=\frac{a^2-1}{2a},u=0\text{ または }u=2t\mathrm{.}$$前者では $a=1$ より $t=\sqrt{2}-1$。後者では$$7t^4-2t^2-1=0⟹t=\sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{7}}\mathrm{.}$$したがって$$t=\sqrt{2}-1,t=\sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{7}}\mathrm{.}$$