熊本大学 2017年度 前期文系数学 第3問

(問1)
$u=(a_n{)}^2$ とおく。$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+1$ であるから，曲線 $y=f(x)$ の点 $(u,f(u))$ における接線は$$y=(2u+1)(x-u)+u^2+u=(2u+1)x-u^2$$である。これと $y=x$ の交点の$x$座標は$$x=(2u+1)x-u^2$$より，$u>0$ のとき $$x=\frac{u}{2}$$ である。したがって$$a_{n+1}=\frac{a_n^2}{2}$$である。$a_1=8>0$ であり，$a_n>0$ ならば $$a_{n+1}=\frac{a_n^2}{2}>0$$ であるから，すべての自然数$n$に対して $a_n>0$ が成り立つ。

(問2)$$a_{n+1}=\frac{a_n^2}{2}$$ より$$b_{n+1}={\log }_2{a}_{n+1}={\log }_2\frac{a_n^2}{2}=2{\log }_2{a}_n-1=2b_n-1$$である。

(問3)
$b_1={\log }_{2}8=3$ である。(問2)より$$b_{n+1}-1=2(b_n-1)$$であるから，$b_n-1$ は初項 $2$，公比 $2$ の等比数列である。よって$$b_n-1=2^n$$すなわち $b_n=2^n+1$ である。したがって$$a_n=2^{2^n+1}$$である。

接線計算から得た$a_{n+1}=a_n^2\mathrm{/}2$に対し，対数漸化式を固定点移動せず反復する。最後は得られた一般項を元の漸化式へ代入して帰納的にも確認する。

(問1)
$u=a_n^2$とおくと，接線は$$y=(2u+1)x-u^2$$である。$y=x$との交点では$$2ux=u^2$$となるので，$u>0$なら$$a_{n+1}=\frac{u}{2}=\frac{a_n^2}{2}>0$$である。$a_1=8>0$から帰納的にすべての$a_n$は正である。

(問2)$$b_{n+1}={\log }_2\frac{a_n^2}{2}=2b_n-1$$である。

(問3)
$b_1=3$であり，漸化式を繰り返すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle =2^{n-1}{b}_1-(1+2+\cdots +2^{n-2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\cdot 2^{n-1}-(2^{n-1}-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^n+1}\end{array}$$となる。よって$$a_n=2^{b_n}=2^{2^n+1}$$である。実際，この式は$a_1=8$を満たし，$a_n^2\mathrm{/}2=a_{n+1}$となる。