熊本大学 2020年度 前期数学③ 第1問

(1) $$\frac{dx}{dt}=\cos t\mathrm{.}$$区間 $0\leqq t\leqq 2\pi \mathrm{/}3$ では $t=\pi \mathrm{/}2$ のとき $x=\sin t$ が最大となる。このとき $y=1-\cos (3\pi \mathrm{/}2)=1$ だから$$P=(1,1)\mathrm{.}$$また$$\frac{dy}{dt}=3\sin 3t$$で、$y=1-\cos 3t$ は $3t=\pi$、すなわち $t=\pi \mathrm{/}3$ で最大値2を取る。よって$$Q=(\frac{\sqrt{3}}{2},2)\mathrm{.}$$(2)

$\sin t=1\mathrm{/}2$ かつ指定区間内で $y=1$ となるのは $t=\pi \mathrm{/}6$ である。このとき$$\frac{dy}{dx}=\frac{3\sin 3t}{\cos t}=\frac{3}{\sqrt{3}\mathrm{/}2}=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$したがって接線は$$y-1=2\sqrt{3}(x-\frac{1}{2})\mathrm{.}$$(3)

$0\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $x$ は増加し、$\pi \mathrm{/}2\leqq t\leqq 2\pi \mathrm{/}3$ では減少する。曲線と $x$ 軸が囲む面積は、曲線の向きを含めた積分として$$S={\int }_0^{2\pi \mathrm{/}3}(1-\cos 3t)\cos tdt$$で与えられる。積和公式$$\cos 3t\cos t=\frac{1}{2}(\cos 2t+\cos 4t)$$を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={[\sin t-\frac{1}{4}\sin 2t-\frac{1}{8}\sin 4t]}_0^{2\pi \mathrm{/}3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9\sqrt{3}}{16}\mathrm{.}}\end{array}$$

(1) (2) は増減表と媒介変数の微分で処理する。(3) は $t=\pi \mathrm{/}2$ で曲線を2枝に分け、『上側の面積−折り返し部分』として積分を組み立て、符号を幾何的に確認する。

(1)

$x^{\mathrm{\prime }}(t)=\cos t$ の符号は $t=\pi \mathrm{/}2$ で正から負へ変わるので、$P=(1,1)$ である。$y^{\mathrm{\prime }}(t)=3\sin 3t$ は $t=\pi \mathrm{/}3$ で正から負へ変わるので、$Q=(\sqrt{3}\mathrm{/}2,2)$ である。

(2)

指定点に対応する $t$ は $\pi \mathrm{/}6$ であり、$${\frac{dy\mathrm{/}dt}{dx\mathrm{/}dt}\mid }_{t=\pi \mathrm{/}6}=2\sqrt{3}\mathrm{.}$$よって$$y=2\sqrt{3}x-\sqrt{3}+1.$$(3)

$0\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}2$ の枝は $x=0$ から $x=1$ へ進む。折り返す枝は $t=2\pi \mathrm{/}3$ から $t=\pi \mathrm{/}2$ へ逆向きにたどると、$x=\sqrt{3}\mathrm{/}2$ から $x=1$ へ進む。したがって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(1-\cos 3t)\cos tdt-{\int }_{2\pi \mathrm{/}3}^{\pi \mathrm{/}2}(1-\cos 3t)\cos tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{2\pi \mathrm{/}3}(1-\cos 3t)\cos tdt\mathrm{.}}\end{array}$$この表示により、$t>\pi \mathrm{/}2$ で $dx\mathrm{/}dt<0$ となる折り返し部分も正しい向きで差し引かれている。積和公式で積分すれば$$S={[\sin t-\frac{1}{4}\sin 2t-\frac{1}{8}\sin 4t]}_0^{2\pi \mathrm{/}3}=\frac{9\sqrt{3}}{16}\mathrm{.}$$