熊本大学 2017年度理系数学第2問（理工系）解答・解説

問題

$s > 0$ ， $t > 0$ とする．複素数平面上の $α = - i$ ， $β = 2 - 2 i$ ， $γ = s + t i$ を表す点をそれぞれ $A$ ， $B$ ， $C$ とする．さらに，点 $D$ を直線 $A C$ に関して点 $B$ と反対側にとり， $△ A C D$ が正三角形になるようにする．点 $D$ を表す複素数を $z$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(問1) $z$ を $s$ ， $t$ を用いて表せ．

(問2) $α$ ， $β$ ， $γ$ が等式 $4 (β - α)^{2} + (γ - α)^{2} - 2 (β - α) (γ - α) = 0$ を満たすとき， $γ$ と $z$ をそれぞれ求めよ．

(問3) (問2)で求めた $γ$ と $z$ に対して，直線 $A C$ と直線 $B D$ の交点を $F$ とし， $∠ D F C = θ$ とする．このとき， $cos θ$ の値を求めよ．

出典：熊本大学 2017年度前期理系第2問

方針

解法1

$γ - α$ を辺 $A C$ の複素数として， $6 0^{\circ}$ 回転で正三角形の第3点を表す。点 $B$ が直線 $A C$ の負の側にあることから回転の向きを決める。(問2)は $η = γ - α$ ， $δ = β - α$ として二次方程式を解く。(問3)は座標に戻し，直線の交点を求めて内積で角の余弦を出す。

解法2

点 $A$ を原点へ平行移動し，辺 $A C$ を回転因子で表す。(問3)は交点 $F$ を計算せず，2直線の方向ベクトルの内積だけで角度を求める。

解答

解法1

(問1)

$γ - α = s + (t + 1) i$ である。 $\overline{(γ - α)} (β - α) = (s - (t + 1) i) (2 - i)$ の虚部は

- s - 2 (t + 1) < 0

であるから，点 $B$ は直線 $A C$ の負の側にある。したがって点 $D$ は正の側にあり，

z = α + (γ - α) (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i)

である。よって

z = \frac{s - 3 ( t + 1 )}{2} + \frac{3 s + t - 1}{2} i

である。

(問2)

$δ = β - α = 2 - i$ ， $η = γ - α$ とおく。与えられた等式は

η^{2} - 2 δ η + 4 δ^{2} = 0

であるから

η = δ (1 \pm 3 i)

である。 $δ = 2 - i$ より

δ (1 + 3 i) = (2 + 3) + (23 - 1) i

であり， $η = γ - α$ の実部と虚部は正である。一方，もう一方の根は虚部が負になる。したがって

γ = α + (2 + 3) + (23 - 1) i = (2 + 3) + (23 - 2) i

である。

(問1)より

z = α + η (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) = (3 - 2) + 23 i

である。

(問3)

座標で

A (0, - 1), B (2, - 2), C (2 + 3, 23 - 2), D (3 - 2, 23)

と表す。直線 $A C$ 上の点を

A + λ (2 + 3, 23 - 1)

とおく。直線 $B D$ の方向ベクトルは

(3 - 4, 23 + 2)

である。両直線の交点を計算すると

F = A + \frac{1}{3} (2 + 3, 23 - 1)

である。

したがって

F C = \frac{2}{3} (2 + 3, 23 - 1), F D = \frac{2}{3} (3 - 4, 23 + 2)

である。内積と長さは

(2 + 3, 23 - 1) \cdot (3 - 4, 23 + 2) = 5,

∣ (2 + 3, 23 - 1) ∣^{2} = 20, ∣ (3 - 4, 23 + 2) ∣^{2} = 35

である。よって

cos θ = \frac{5}{20 35} = \frac{7}{14}

である。

解法2

(問1)

η = γ - α = s + (t + 1) i, ω = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

とおく。点 $B$ と反対側にある正三角形の頂点は

z = α + ω η

だから

z = \frac{s - 3 ( t + 1 )}{2} + \frac{3 s + t - 1}{2} i

である。

(問2)

$δ = β - α = 2 - i$ とおくと，与式は

η^{2} - 2 δ η + 4 δ^{2} = 0

である。したがって

\frac{η}{δ} = 1 \pm 3 i .

$s, t > 0$ を満たす方を選ぶと

γ = (2 + 3) + (23 - 2) i

であり，

z = α + ω η = (3 - 2) + 23 i

である。

(問3)

$∠ D F C$ は直線 $B D$ と直線 $A C$ のなす角である。方向ベクトルとして

A C = (2 + 3, 23 - 1),

B D = (3 - 4, 23 + 2)

をとると，内積は $5$ ，長さの二乗は $20, 35$ である。よって

cos θ = \frac{5}{20 35} = \frac{7}{14}

である。

熊本大学 2017年度理系数学 第2問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2017年度
理系数学第2問（理工系）