熊本大学 2017年度理系数学第3問（理工系）解答・解説

問題

関数 $f (x) = lo g_{2} x - x + 1$ （ $x > 0$ ）について，以下の問いに答えよ．

(問1) $f (x)$ の極値を求めよ．

(問2) 方程式 $f (x) = 0$ の解をすべて求めよ．なお， $lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$ を用いてもよい．

(問3) 座標平面上の曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2017年度前期理系第3問

方針

解法1

$L = lo g_{e} 2$ とおき， $lo g_{2} x = \frac{l o g _{e} x}{L}$ として微分する。増減から極大値と零点の個数を判定し， $x = 1, 2$ が解であることを確認する。囲まれた部分は $1 ≦ x ≦ 2$ で $f (x) ≧ 0$ となるので，その定積分を計算する。

解法2

微分で極大点を求めた後， $f^{''} (x) < 0$ による厳密な上に凸性から零点が高々2個であることを示す。既知の2零点を確認して面積積分へ進む。

解答

解法1

(問1)

$L = lo g_{e} 2$ とおくと

f (x) = \frac{lo g _{e} x}{L} - x + 1

である。したがって

f^{'} (x) = \frac{1}{Lx} - 1

であり， $f^{'} (x) = 0$ となるのは $x = \frac{1}{L}$ のときである。 $f^{'} (x)$ は $0 < x < \frac{1}{L}$ で正， $x > \frac{1}{L}$ で負であるから， $x = \frac{1}{L}$ で極大となる。極大値は

f (\frac{1}{L}) = lo g_{2} \frac{1}{L} - \frac{1}{L} + 1

である。極小値はない。

(問2)

$f (1) = 0$ ， $f (2) = 0$ である。また $\frac{1}{2} < L < 1$ より $1 < \frac{1}{L} < 2$ である。したがって $f (x)$ は $(0, \frac{1}{L})$ で増加し， $(\frac{1}{L}, \infty)$ で減少する。

$x = 1$ と $x = 2$ はそれぞれ零点であり，増減と $lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty$ より，これ以外の零点はない。よって解は

x = 1, x = 2

である。

(問3)

(問2)と増減より，曲線と $x$ 軸で囲まれる部分は $1 ≦ x ≦ 2$ にあり，この区間で $f (x) ≧ 0$ である。したがって面積は

\int_{1}^{2} (lo g_{2} x - x + 1) d x = \int_{1}^{2} (\frac{lo g _{e} x}{L} - x + 1) d x = [\frac{x lo g _{e} x - x}{L} - \frac{x ^{2}}{2} + x]_{1}^{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{L}

である。すなわち

\frac{3}{2} - \frac{1}{lo g _{e} 2}

である。

解法2

(問1)

$L = lo g_{e} 2$ とおくと

f^{'} (x) = \frac{1}{Lx} - 1, f^{''} (x) = - \frac{1}{L x ^{2}} < 0

である。したがって $x = 1/ L$ でただ1つの極大値

f (\frac{1}{L}) = lo g_{2} \frac{1}{L} - \frac{1}{L} + 1

をとり，極小値はない。

(問2)

直接代入して

f (1) = f (2) = 0

である。また $f^{''} (x) < 0$ なので $f$ は厳密に上に凸であり，異なる3個の零点をもつことはない。実際，3零点があれば中央の零点での値は，両端を結ぶ弦の値 $0$ より真に大きくなるはずで，矛盾する。よって解は

x = 1, x = 2

だけである。

(問3)

$1 < x < 2$ では上に凸性から $f (x) > 0$ である。したがって面積は

\int_{1}^{2} f (x) d x = [\frac{x lo g _{e} x - x}{L} - \frac{x ^{2}}{2} + x]_{1}^{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{lo g _{e} 2}

である。

熊本大学 2017年度理系数学 第3問（理工系）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2017年度
理系数学第3問（理工系）