熊本大学 2017年度理系数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

$f (x) = \frac{( x - 1 ) ( x - 2 )}{x ^{2}}$ （ $x > 0$ ）とする．座標平面上の曲線 $y = f (x)$ を $C$ とし，点 $P (t, f (t))$ （ $t > 0$ ）における曲線 $C$ の接線を $l$ とする．以下の問いに答えよ．

(問1) 接線 $l$ と曲線 $C$ が点 $P$ 以外に共有点をもたないような $t$ の最大値を求めよ．

(問2) (問1)で求めた $t$ の値を $a$ とする．実数 $k$ に対し，直線 $l_{k} : y = k (x - a) + f (a)$ と曲線 $C$ の共有点の個数を求めよ．

(問3) (問2)の直線 $l_{k}$ と曲線 $C$ の共有点が $2$ 個のとき，それら共有点の $x$ 座標のうち小さい方の値が $\frac{1}{3}$ となるような $k$ を求め，そのときの曲線 $C$ と直線 $l_{k}$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：熊本大学 2017年度前期理系第3問

方針

解法1

$f (x) = 1 - 3/ x + 2/ x^{2}$ として微分し，接線との差を因数分解して，接点以外の共有点の $x$ 座標を調べる。(問1)では正の定義域に入るかどうかを判定する。(問2)は $a = 2$ として $(x - 2) (k x^{2} - x + 1) = 0$ へ帰着し，二次方程式の正の解の個数を $k$ で場合分けする。(問3)は $x = 1/3$ を代入して $k$ を決め，差を積分する。

解法2

接線との差の因数分解を『接点の重解と第3交点』として読む。(問3)では直線と曲線の差も完全に因数分解し，符号を確認してから表示積分する。

解答

解法1

(問1)

f (x) = 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x ^{2}}, f^{'} (x) = \frac{3 x - 4}{x ^{3}}

である。点 $(t, f (t))$ における接線と曲線の共有点を調べるため，

f (x) - {f^{'} (t) (x - t) + f (t)} = 0

を考える。両辺に正の数 $x^{2} t^{3}$ を掛けて整理すると

(x - t)^{2} {(4 - 3 t) x + 2 t} = 0

となる。よって接点以外の候補は

x = - \frac{2 t}{4 - 3 t}

である。

$t < 0$ のとき，この値は正であり，しかも接点 $x = t < 0$ とは異なるので，定義域 $x > 0$ に接点以外の共有点をもつ。したがって条件を満たさない。

$0 < t < \frac{4}{3}$ のとき，この値は負であるから定義域 $x > 0$ に入らない。 $t = \frac{4}{3}$ のときも接点以外の共有点はない。 $t > \frac{4}{3}$ のとき，この値は正であり，接点以外の共有点になる。ただし $- \frac{2 t}{4 - 3 t} = t$ となる $t = 2$ では，接点と一致するだけで点 $P$ 以外の共有点はない。したがって条件を満たす $t$ の最大値は

2

である。

(問2)

(問1)より $a = 2$ であり， $f (2) = 0$ である。直線 $l_{k}$ は

y = k (x - 2)

である。共有点の $x$ 座標は

\frac{( x - 1 ) ( x - 2 )}{x ^{2}} = k (x - 2)

を満たす。両辺に $x^{2}$ を掛けて整理すると

(x - 2) (k x^{2} - x + 1) = 0

である。

$x = 2$ は常に共有点である。二次式 $k x^{2} - x + 1$ を調べる。 $k < 0$ のときは正の解が $1$ 個， $k = 0$ のときも解 $x = 1$ が $1$ 個である。 $0 < k < \frac{1}{4}$ のときは判別式 $1 - 4 k > 0$ で，積と和がともに正なので正の解が $2$ 個である。 $k = \frac{1}{4}$ のときは $x = 2$ が重解であり，新しい共有点はない。 $k > \frac{1}{4}$ のとき二次式に実数解はない。

したがって共有点の個数は

⎩ ⎨ ⎧ 231 (k ≦ 0), (0 < k < \frac{1}{4}), (k ≧ \frac{1}{4})

である。

(問3)

共有点が $2$ 個で，小さい方の $x$ 座標が $\frac{1}{3}$ であるから， $x = \frac{1}{3}$ は $k x^{2} - x + 1 = 0$ の解である。よって

\frac{k}{9} - \frac{1}{3} + 1 = 0

より

k = - 6

である。

このとき直線は $y = - 6 x + 12$ である。 $\frac{1}{3} ≦ x ≦ 2$ において直線が曲線の上にあるので，求める面積は

\int_{1/3}^{2} {- 6 x + 12 - (1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x ^{2}})} d x = \int_{1/3}^{2} (- 6 x + 11 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x ^{2}}) d x = [- 3 x^{2} + 11 x + 3 lo g_{e} x + \frac{2}{x}]_{1/3}^{2} = \frac{5}{3} + 3 lo g_{e} 6

である。

解法2

(問1)

接線と曲線の共有点方程式は

(x - t)^{2} {(4 - 3 t) x + 2 t} = 0

である。接点以外の候補は

r (t) = \frac{2 t}{3 t - 4}

である。 $t < 0$ では $r (t) > 0$ かつ接点 $t$ と異なるため条件を満たさない。 $0 < t ≦ 4/3$ では正の第3交点をもたず， $t > 4/3$ では通常 $r (t) > 0$ となる。ただし

r (t) = t

となるのは $t = 2$ で，このとき第3交点も接点に重なる。したがって条件を満たす最大値は

a = 2

である。

(問2)

$a = 2, f (2) = 0$ より直線は $y = k (x - 2)$ であり，共有点条件は

(x - 2) (k x^{2} - x + 1) = 0

となる。二次因子の正の実根を判定すると

⎩ ⎨ ⎧ 2 個 3 個 1 個 (k ≦ 0), (0 < k < 1/4), (k ≧ 1/4)

の共有点をもつ。 $k = 1/4$ では二次因子の重根も $x = 2$ であることに注意する。

(問3)

$x = 1/3$ を二次因子へ代入して

k = - 6

を得る。このとき

l_{k} (x) - f (x) = \frac{( 2 - x ) ( 3 x - 1 ) ( 2 x + 1 )}{x ^{2}}

であり， $1/3 ≦ x ≦ 2$ で非負である。よって面積は

S = \int_{1/3}^{2} (- 6 x + 11 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x ^{2}}) d x = [- 3 x^{2} + 11 x + 3 lo g_{e} x + \frac{2}{x}]_{1/3}^{2} = \frac{5}{3} + 3 lo g_{e} 6

である。

熊本大学 2017年度理系数学 第3問（医学部医学科）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2017年度
理系数学第3問（医学部医学科）