熊本大学 2017年度理系数学第2問（理工系2）解答・解説

問題

$s > 0$ ， $t > 0$ とする．原点を $O$ とする複素数平面において， $α = 2 - i$ ， $β = s + t i$ を表す点をそれぞれ $A$ ， $B$ とする．さらに，点 $C$ を直線 $O B$ に関して点 $A$ と反対側にとり， $△ O B C$ が正三角形になるようにする．点 $C$ を表す複素数を $z$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(問1) $z$ を $s$ ， $t$ を用いて表せ．

(問2) $α$ ， $β$ が等式 $4 α^{2} + β^{2} - 2 α β = 0$ を満たすとき， $β$ と $z$ をそれぞれ求めよ．

(問3) (問2)で求めた $β$ と $z$ に対して，直線 $A C$ と直線 $O B$ の交点を $D$ とし， $∠ C D B = θ$ とする．このとき， $cos θ$ の値を求めよ．

出典：熊本大学 2017年度前期理系第2問

方針

解法1

正三角形は複素数の $6 0^{\circ}$ 回転として表す。点 $A$ が直線 $O B$ のどちら側にあるかを確認して回転の向きを決める。(問2)は $β$ についての二次方程式を解き， $s, t > 0$ に合う根を選ぶ。(問3)は得られた点を座標化し，直線の交点 $D$ を媒介変数で求めて内積から $cos θ$ を計算する。

解法2

正三角形を回転因子で表し，方程式は比 $β / α$ について解く。(問3)では交点を求めず，直線 $O B$ と $A C$ の方向ベクトルだけで角を計算する。

解答

解法1

(問1)

$△ O B C$ は正三角形で，点 $C$ は直線 $O B$ に関して点 $A$ と反対側にある。 $β = s + t i$ に $6 0^{\circ}$ の回転を施す向きを選べばよい。

$\overline{β} α = (s - t i) (2 - i)$ の虚部は $- s - 2 t < 0$ であるから，点 $A$ は直線 $O B$ の負の側にある。したがって点 $C$ は正の側にあり，

z = β (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i)

である。よって

z = \frac{s - 3 t}{2} + \frac{3 s + t}{2} i

である。

(問2)

与えられた等式を $β$ について見ると

β^{2} - 2 α β + 4 α^{2} = 0

である。したがって

β = α (1 \pm 3 i)

である。 $α = 2 - i$ より

α (1 + 3 i) = (2 + 3) + (23 - 1) i

であり，これは実部・虚部ともに正である。一方， $α (1 - 3 i)$ の虚部は負である。よって

β = (2 + 3) + (23 - 1) i

である。

(問1)より

z = β (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) = (3 - 2) + (23 + 1) i

である。

(問3)

座標で

A (2, - 1), B (2 + 3, 23 - 1), C (3 - 2, 23 + 1)

と表す。直線 $O B$ 上の点を $λ B$ とおく。直線 $A C$ の方向ベクトルは

A C = (3 - 4, 23 + 2)

である。 $D$ が両直線の交点であることから

D = \frac{1}{3} B

が得られる。実際， $D - A = \frac{1}{3} B - A$ は $A C$ と平行である。

したがって

D B = \frac{2}{3} (2 + 3, 23 - 1), D C = \frac{2}{3} (3 - 4, 23 + 2)

である。よって

D B \cdot D C = \frac{4}{9} \cdot 5, ∣ D B ∣^{2} = \frac{4}{9} \cdot 20, ∣ D C ∣^{2} = \frac{4}{9} \cdot 35

であるから

cos θ = \frac{5}{20 35} = \frac{7}{14}

である。

解法2

(問1)

ω = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

とおく。点 $A$ は直線 $O B$ の負の側にあるので，反対側の頂点は

z = ω β

である。したがって

z = \frac{s - 3 t}{2} + \frac{3 s + t}{2} i

である。

(問2)

$α \neq = 0$ なので， $u = β / α$ とおくと

u^{2} - 2 u + 4 = 0

であり，

u = 1 \pm 3 i

となる。 $s, t > 0$ を満たす方は正符号だから

β = (2 - i) (1 + 3 i) = (2 + 3) + (23 - 1) i

である。また

z = ω β = (3 - 2) + (23 + 1) i

である。

(問3)

$∠ C D B$ は直線 $A C$ と直線 $O B$ のなす鋭角であるから，交点 $D$ 自体を求める必要はない。方向ベクトルとして

O B = (2 + 3, 23 - 1),

A C = (3 - 4, 23 + 2)

をとる。内積は $5$ ，長さの二乗はそれぞれ $20, 35$ だから

cos θ = \frac{5}{20 35} = \frac{7}{14}

である。

熊本大学 2017年度理系数学 第2問（理工系2）

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(問1)

(問2)

(問3)

解法2

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2017年度
理系数学第2問（理工系2）