熊本大学 2017年度 前期 理工系理系数学 第3問

(問1)
$L={\log }_{e}2$ とおくと$$f(x)=\frac{{\log }_{e}x}{L}-x+1$$である。したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{Lx}-1$$であり，$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となるのは $x=\frac{1}{L}$ のときである。$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は $0<x<\frac{1}{L}$ で正，$x>\frac{1}{L}$ で負であるから，$x=\frac{1}{L}$ で極大となる。極大値は$$f\left(\frac{1}{L}\right)={\log }_2\frac{1}{L}-\frac{1}{L}+1$$である。極小値はない。

(問2)
$f(1)=0$，$f(2)=0$ である。また $\frac{1}{2}<L<1$ より $1<\frac{1}{L}<2$ である。したがって $f(x)$ は $(0,\frac{1}{L})$ で増加し，$(\frac{1}{L},\mathrm{\infty })$ で減少する。

$x=1$ と $x=2$ はそれぞれ零点であり，増減と $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$$ より，これ以外の零点はない。よって解は$$x=1,x=2$$である。

(問3)
(問2)と増減より，曲線と$x$軸で囲まれる部分は $1\leqq x\leqq 2$ にあり，この区間で $f(x)\geqq 0$ である。したがって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^2({\log }_{2}x-x+1)dx}& {\displaystyle ={\int }_1^2(\frac{{\log }_{e}x}{L}-x+1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{x{\log }_{e}x-x}{L}-\frac{x^2}{2}+x]}_1^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{2}-\frac{1}{L}}\end{array}$$である。すなわち$$\frac{3}{2}-\frac{1}{{\log }_{e}2}$$である。

微分で極大点を求めた後，$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$による厳密な上に凸性から零点が高々2個であることを示す。既知の2零点を確認して面積積分へ進む。

(問1)
$L={\log }_{e}2$とおくと$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{Lx}-1,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{L{x}^2}<0$$である。したがって$x=1\mathrm{/}L$でただ1つの極大値$$f\left(\frac{1}{L}\right)={\log }_2\frac{1}{L}-\frac{1}{L}+1$$をとり，極小値はない。

(問2)
直接代入して$$f(1)=f(2)=0$$である。また$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$なので$f$は厳密に上に凸であり，異なる3個の零点をもつことはない。実際，3零点があれば中央の零点での値は，両端を結ぶ弦の値$0$より真に大きくなるはずで，矛盾する。よって解は$$x=1,x=2$$だけである。

(問3)
$1<x<2$では上に凸性から$f(x)>0$である。したがって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^{2}f(x)dx}& {\displaystyle ={[\frac{x{\log }_{e}x-x}{L}-\frac{x^2}{2}+x]}_1^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3}{2}-\frac{1}{{\log }_{e}2}}\end{array}$$である。