京都大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系（乙）数学 第1問

$$h(x)=\log x-px-q(x>0)$$ とおく。直線 $y=px+q$ と曲線 $y=\log x$ が共有点をもたないことは，方程式 $h(x)=0$ が $x>0$ に解をもたないことと同値である。

まず $p\leqq 0$ の場合を考える。$x\to +0$ のとき $\log x\to -\mathrm{\infty }$ であり，$-px-q$ は少なくとも下に発散する項ではないので $h(x)\to -\mathrm{\infty }$ である。一方，$p<0$ なら $-px\to \mathrm{\infty }$，$p=0$ なら $\log x\to \mathrm{\infty }$ により，$x\to \mathrm{\infty }$ で $h(x)\to \mathrm{\infty }$ となる。$h$ は連続だから，この場合は必ず $h(x)=0$ の解を持つ。したがって共有点をもたないためには $p>0$ が必要である。

以下 $p>0$ とする。このとき $$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}-p$$ である。よって $0<x<1\mathrm{/}p$ では $h^{\mathrm{\prime }}(x)>0$，$x>1\mathrm{/}p$ では $h^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ となるので，$h(x)$ は $$x={\displaystyle \frac{1}{p}}$$ で最大値をとる。また $x\to +0$ と $x\to \mathrm{\infty }$ のどちらでも $h(x)\to -\mathrm{\infty }$ である。

したがって $x>0$ に解をもたないための必要十分条件は，最大値が0より小さいことである。最大値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h\left({\displaystyle \frac{1}{p}}\right)}& {\displaystyle =\log {\displaystyle \frac{1}{p}}-p\cdot {\displaystyle \frac{1}{p}}-q}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\log p-1-q}\end{array}$$であるから，条件は $-\log p-1-q<0$ すなわち $p>0,q>-\log p-1$ である。等号の場合は接点を1つ持つので，問題の条件には含まれない。

$q=-\log p-1$ が接する境界で、その上側が求める領域。

$p\leqq 0$ では連続性から必ず交点があることを確認する。$p>0$ では $t=px$ と置き、$\log t\leqq t-1$ を使って $\log x-px$ の最大値を一行で評価する。等号条件 $t=1$ により必要性も同時に得る。

まず $p\leqq 0$ なら、$x\to +0$ で$$\log x-px-q\to -\mathrm{\infty }$$である。一方、$x\to \mathrm{\infty }$ では $p<0$ なら $-px\to \mathrm{\infty }$、$p=0$ なら $\log x\to \mathrm{\infty }$ だから、連続性により必ず共有点を持つ。よって $p>0$ が必要である。

$p>0$ とする。正の実数 $t$ に対して$$\log t\leqq t-1$$が成り立ち、等号は $t=1$ のときに限る。$t=px$ と置くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \log x-px}& {\displaystyle =\log (px)-\log p-px}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq px-1-\log p-px}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-1-\log p\mathrm{.}}\end{array}$$しかも $px=1$、すなわち $x=1\mathrm{/}p$ のとき等号となる。したがって$$\underset{x>0}{\max }\{\log x-px\}=-1-\log p\mathrm{.}$$直線と対数曲線が共有点を持たないためには、すべての $x>0$ で$$\log x<px+q$$となることが必要十分である。最大値の式から、その条件は$$q>-1-\log p$$である。ゆえに求める必要十分条件は$$p>0,q>-\log p-1$$となる。