京都大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

内接円の半径を $r$、四角形の半周長を $s$ とすると、内接円を中心に4つの三角形へ分けることで $\text{面積}=rs$ である。いま $r=1$ なので、面積は半周長 $s$ に等しい。

四角形の内角を $A,B,C,D$ とする。ある頂点の内角を $\theta$ とし、その頂点から内接円への2本の接線の接点までの長さを $l$ とする。中心は角の二等分線上にあり、半径は接線に垂直であるから、直角三角形で $$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1}{l}$$ となる。したがって $$l=\cot \frac{\theta }{2}$$ である。

四角形の各辺は、両端の頂点から接点までの接線長の和である。よって半周長は、各頂点から出る接線長を1回ずつ足したものになり、面積 $S$ は $$S=\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}+\cot \frac{C}{2}+\cot \frac{D}{2}$$ である。

少なくとも2つの内角が直角であるから、その2つを $A,B$ としてよい。すなわち $$A=B=\frac{\pi }{2}$$ である。このとき内角和より $$C+D=2\pi -\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=\pi$$ である。したがって $$\cot \frac{A}{2}+\cot \frac{B}{2}=\cot \frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}=2$$ である。

さらに $u=C\mathrm{/}2$ とおくと、$D\mathrm{/}2=\pi \mathrm{/}2-u$ であり、$0<u<\pi \mathrm{/}2$ である。よって$$\cot \frac{C}{2}+\cot \frac{D}{2}=\cot u+\cot (\frac{\pi }{2}-u)=\cot u+\tan u$$である。ここで $\tan u>0$ なので $$\cot u+\tan u=\frac{1}{\tan u}+\tan u\geqq 2$$ であり、等号は $\tan u=1$、すなわち $u=\pi \mathrm{/}4$ のときに成り立つ。

したがって $S\geqq 2+2=4$ である。半径1の円に外接する正方形を考えると、その一辺は2であり、面積は $2^2=4$ である。この四角形は条件(a)(b)を満たすので、求める最小面積は $4$ である。