京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$q=1$のとき，$\tan \beta =1$であるから$2\beta$は$\pi \mathrm{/}2$と同じ向きである。したがって $$\tan (\alpha +2\beta )=-\frac{1}{\tan \alpha }=-p$$ となり，2にはならない。よって$q=1$は不適である。

以下，$q>1$とする。倍角公式より $$\tan 2\beta =\frac{2\tan \beta }{1-{\tan }^2\beta }=\frac{2q}{q^2-1}$$ である。よって加法定理から$$\tan (\alpha +2\beta )=\frac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{2q}{p(q^2-1)}}$$である。これが2であるから $$\frac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{2q}{p(q^2-1)}}=2$$ である。整理すると $q^2-1+2pq=2p(q^2-1)-4q$ であり，$2p(q^2-q-1)=q^2+4q-1$ を得る。したがって $$p=\frac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}$$ である。 $q=2,3,4,5,6$を調べると $$q=2:p=\frac{11}{2},q=3:p=2,$$ $$q=4:p=\frac{31}{22},q=5:p=\frac{44}{38},q=6:p=\frac{59}{58}$$である。したがってこの範囲で自然数になるのは $q=3,p=2$ だけである。

次に$q\geqq 7$とする。このとき $$2(q^2-q-1)-(q^2+4q-1)=q^2-6q-1>0$$ であるから $0<p<1$ となる。よって自然数$p$は存在しない。

以上より，求める組は $(p,q)=(2,3)$ である。

加法定理から得た有理式を最大公約数で絞る。$q>1$ のとき $2p-1=\frac{5q}{q^2-q-1}$。$\gcd (q,q^2-q-1)=1$ なので、自然数解なら $q^2-q-1$ は5の正の約数に限られる。

$q=1$ では$$\tan (\alpha +2\beta )=-p\mathrm{\ne }2$$なので不適である。

$q>1$ とする。倍角公式と加法定理を用いて整理すると$$2p(q^2-q-1)=q^2+4q-1.$$右辺を$$q^2+4q-1=(q^2-q-1)+5q$$と分けると$$2p-1=\frac{5q}{q^2-q-1}\mathrm{.}$$$p$ が自然数なら $q^2-q-1\mid 5q$ である。一方$$\gcd (q,q^2-q-1)=\gcd (q,-1)=1$$だから$$q^2-q-1\mid 5.$$$q>1$ では左辺が正なので$$q^2-q-1=1\text{または}5.$$第1の場合は $q=2$ だが $p=11\mathrm{/}2$ となり不適。第2の場合は $q=3$ で$$p=2.$$したがって求める組は$$(p,q)=(2,3)$$のみである。