京都大学 2017年度
理系数学 第3問

解答

解法1

$q=1$のとき，$\tan \beta =1$であるから$2\beta$は$\pi /2$と同じ向きである。したがって $\tan (\alpha +2\beta )=-\frac{1}{\tan \alpha }=-p$ となり，2にはならない。よって$q=1$は不適である。

以下，$q>1$とする。倍角公式より $\tan 2\beta =\frac{2\tan \beta }{1-{\tan }^2\beta }=\frac{2q}{q^2-1}$ である。よって加法定理から

である。これが2であるから $\frac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{2q}{p(q^2-1)}}=2$ である。整理すると $q^2-1+2pq=2p(q^2-1)-4q$ であり，$2p(q^2-q-1)=q^2+4q-1$ を得る。したがって $p=\frac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}$ である。 $q=2,3,4,5,6$を調べると $q=2:p=\frac{11}{2},q=3:p=2,$

である。したがってこの範囲で自然数になるのは $q=3,p=2$ だけである。

次に$q\geqq 7$とする。このとき $2(q^2-q-1)-(q^2+4q-1)=q^2-6q-1>0$ であるから $0<p<1$ となる。よって自然数$p$は存在しない。

以上より，求める組は $(p,q)=(2,3)$ である。

解法2

$q=1$ では

なので不適である。

$q>1$ とする。倍角公式と加法定理を用いて整理すると

右辺を

と分けると

$p$ が自然数なら $q^2-q-1\mid 5q$ である。一方

だから

$q>1$ では左辺が正なので

第1の場合は $q=2$ だが $p=11/2$ となり不適。第2の場合は $q=3$ で

したがって求める組は

のみである。