京都大学 2021年度理系数学第4問解答・解説

問題

曲線 $y = lo g (1 + cos x)$ の $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ の部分の長さを求めよ．

出典：京都大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

解法1（半角公式で弧長積分を正割関数へ直す）

曲線の長さ公式

\int 1 + (y^{'})^{2} d x

を用いる。 $y^{'} = - sin x / (1 + cos x)$ は半角公式で $- tan (x /2)$ となるので，被積分関数は $1/ cos (x /2)$ に簡単化する。あとは $u = x /2$ と置き，

\int d u / cos u

を $lo g ((1 + sin u) / cos u)$ で評価する。

解法2（正接半角置換で平方根を直接積分する）

導関数を $y^{'} = - tan (x /2)$ と直した後， $t = tan (x /2)$ とおく。弧長要素と $d x$ の因子が約分され， $2/ 1 + t^{2}$ の標準形になる。

解答

解法1（半角公式で弧長積分を正割関数へ直す）

$y = lo g (1 + cos x)$ とおく。 $0 ≦ x ≦ π /2$ では $1 + cos x > 0$ である。導関数は $y^{'} = \frac{- sin x}{1 + cos x}$ である。半角公式 $sin x = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}, 1 + cos x = 2 cos^{2} \frac{x}{2}$ より $y^{'} = - tan \frac{x}{2}$ である。

したがって曲線の長さ $L$ は

L = \int_{0}^{π /2} 1 + (y^{'})^{2} d x = \int_{0}^{π /2} 1 + tan^{2} \frac{x}{2} d x = \int_{0}^{π /2} \frac{1}{cos ( x /2 )} d x

である。ここで $0 ≦ x /2 ≦ π /4$ なので， $cos (x /2) > 0$ である。 $u = \frac{x}{2}$ とおくと

L = 2 \int_{0}^{π /4} \frac{1}{cos u} d u

である。ここで $\frac{d}{d u} lo g \frac{1 + sin u}{cos u} = \frac{1}{cos u}$ であるから

L = 2 [lo g \frac{1 + sin u}{cos u}]_{0}^{π /4} = 2 lo g \frac{1 + \frac{2}{2}}{\frac{2}{2}} = 2 lo g (1 + 2)

である。

解法2（正接半角置換で平方根を直接積分する）

$y = lo g (1 + cos x)$ の導関数は

y^{'} = - \frac{sin x}{1 + cos x} = - tan \frac{x}{2}

である。したがって弧長 $L$ は

L = \int_{0}^{π /2} 1 + tan^{2} \frac{x}{2} d x

である。

$t = tan (x /2)$ とおくと，区間内で $0 ≦ t ≦ 1$ であり

d x = \frac{2}{1 + t ^{2}} d t, 1 + tan^{2} \frac{x}{2} = 1 + t^{2}

だから

L = 2 \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}} = 2 [lo g (t + 1 + t^{2})]_{0}^{1} = 2 lo g (1 + 2)

となる。さらに $(1 + 2)^{2} = 3 + 22$ より

L = lo g (3 + 22)

とも書ける。

京都大学 2021年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1（半角公式で弧長積分を正割関数へ直す）

解法2（正接半角置換で平方根を直接積分する）

解答

解法1（半角公式で弧長積分を正割関数へ直す）

解法2（正接半角置換で平方根を直接積分する）

京都大学 2021年度
理系数学第4問