京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$y=\log (1+\cos x)$ とおく。$0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ では $1+\cos x>0$ である。導関数は $${\displaystyle y^{\mathrm{\prime }}=\frac{-\sin x}{1+\cos x}}$$ である。半角公式 $${\displaystyle \sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2},1+\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}}$$ より $${\displaystyle y^{\mathrm{\prime }}=-\tan \frac{x}{2}}$$ である。

したがって曲線の長さ $L$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sqrt{1+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sqrt{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\frac{1}{\cos (x\mathrm{/}2)}dx}\end{array}$$である。ここで $0\leqq x\mathrm{/}2\leqq \pi \mathrm{/}4$ なので，$\cos (x\mathrm{/}2)>0$ である。 $${\displaystyle u=\frac{x}{2}}$$ とおくと$$L=2{\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\frac{1}{\cos u}du$$である。ここで $${\displaystyle \frac{d}{du}\log \frac{1+\sin u}{\cos u}=\frac{1}{\cos u}}$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle =2{[\log \frac{1+\sin u}{\cos u}]}_0^{\pi \mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\log \frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\log (1+\sqrt{2})}\end{array}$$である。

導関数を $y^{\mathrm{\prime }}=-\tan (x\mathrm{/}2)$ と直した後，$t=\tan (x\mathrm{/}2)$ とおく。弧長要素と $dx$ の因子が約分され，$2\mathrm{/}\sqrt{1+t^2}$ の標準形になる。

$y=\log (1+\cos x)$ の導関数は$$y^{\mathrm{\prime }}=-\frac{\sin x}{1+\cos x}=-\tan \frac{x}{2}$$である。したがって弧長 $L$ は$$L={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\sqrt{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}dx$$である。

$t=\tan (x\mathrm{/}2)$ とおくと，区間内で $0\leqq t\leqq 1$ であり$$dx=\frac{2}{1+t^2}dt,\sqrt{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}=\sqrt{1+t^2}$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle =2{\int }_0^1\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[\log (t+\sqrt{1+t^2})]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\log (1+\sqrt{2})}\end{array}$$となる。さらに $(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}$ より$$L=\log (3+2\sqrt{2})$$とも書ける。