京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

接点を $${\displaystyle P=(t,\frac{t^2+1}{2})}$$ とおく。この曲線の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=x$ であるから，点 $P$ における接線の傾きは $t$ である。したがって接線は $${\displaystyle y-\frac{t^2+1}{2}=t(x-t)}$$ すなわち $${\displaystyle y=tx+\frac{1-t^2}{2}}$$ である。

この接線が $x$ 軸と交わるには $t\mathrm{\ne }0$ である。$y=0$ とおくと，交点 $Q$ の $x$ 座標は $${\displaystyle 0=tx+\frac{1-t^2}{2}}$$ より $${\displaystyle x=\frac{t^2-1}{2t}}$$ である。したがって $${\displaystyle Q=(\frac{t^2-1}{2t},0)}$$ である。

距離の2乗を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L^2}& {\displaystyle ={(t-\frac{t^2-1}{2t})}^2+{\left(\frac{t^2+1}{2}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left(\frac{t^2+1}{2t}\right)}^2+{\left(\frac{t^2+1}{2}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(t^2+1{)}^3}{4t^2}}\end{array}$$である。

ここで $u=t^2>0$ とおくと $${\displaystyle L^2=\frac{(u+1{)}^3}{4u}}$$ である。$L^2$ を最小にすれば $L$ も最小になる。対数微分の形で見ると $${\displaystyle \frac{d}{du}\log \frac{(u+1{)}^3}{u}=\frac{3}{u+1}-\frac{1}{u}}$$ であり，これが0となるのは $${\displaystyle 3u=u+1,u=\frac{1}{2}}$$ のときである。また $u\to 0+$ または $u\to \mathrm{\infty }$ で $L^2\to \mathrm{\infty }$ となるので，ここで最小をとる。

したがって $${\displaystyle L^2=\frac{(1+1\mathrm{/}2{)}^3}{4\cdot 1\mathrm{/}2}=\frac{27}{16}}$$ であり，求める最小値は ${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}$ である。

接点を $t$ として $L^2$ を $u=t^2>0$ の式へ直すところまでは同じである。その後は微分せず，候補値 $27\mathrm{/}16$ との差を因数分解して非負性と等号条件を同時に示す。

接点を$$P=(t,\frac{t^2+1}{2})$$とおく。接線は$$y=tx+\frac{1-t^2}{2}$$であり，$x$ 軸と交わる条件から $t\mathrm{\ne }0$ である。交点は$$Q=(\frac{t^2-1}{2t},0)$$となる。距離を計算すると$$L^2=\frac{(t^2+1{)}^3}{4t^2}$$である。

$u=t^2>0$ とおくと$$L^2-\frac{27}{16}=\frac{4(u+1{)}^3-27u}{16u}=\frac{(2u-1{)}^2(u+4)}{16u}\geqq 0$$である。等号は $u=1\mathrm{/}2$，すなわち $t=\pm 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ のときに成立し，いずれも接線は $x$ 軸と交わる。よって$$L_{\min }=\sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$である。