京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

問1

対偶を示す。すなわち，$n$ が合成数ならば $3^n-2^n$ は素数でないことを示す。 $n$ が合成数であるとすると $n=ab$ と書ける。ただし $a>1,b>1$ である。このとき $3^n-2^n=(3^a{)}^b-(2^a{)}^b$ である。一般に $$X^b-Y^b=(X-Y)(X^{b-1}+X^{b-2}Y+\cdots +Y^{b-1})$$ であるから，$3^n-2^n$ は $3^a-2^a$ で割り切れる。

さらに $a>1$ より $3^a-2^a>1$ であり，$b>1$ より $3^a-2^a<3^n-2^n$ である。したがって $3^n-2^n$ は1より大きく自分自身より小さい約数をもつので，素数ではない。

よって対偶が示されたので，$3^n-2^n$ が素数ならば $n$ も素数である。

問2

原点を通る接線が，曲線上の点 $(c,f(c))$ における接線であるための条件を考える。その接線は $y-f(c)=f^{\mathrm{\prime }}(c)(x-c)$ である。これが原点を通ることは $-f(c)=-c{f}^{\mathrm{\prime }}(c)$ すなわち $f(c)=c{f}^{\mathrm{\prime }}(c)$ と同値である。

そこで $${\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}(1\leqq x\leqq a)}$$ とおく。$a>1$ であり，この区間では $x\mathrm{\ne }0$ だから，$g$ は微分可能である。また仮定 $f(a)=af(1)$ より $${\displaystyle g(1)=f(1),g(a)=\frac{f(a)}{a}=f(1)}$$ である。

したがって，$g(1)=g(a)$ であるから，区間 $(1,a)$ のある点 $c$ で $g^{\mathrm{\prime }}(c)=0$ となる。実際，$g$ が途中で一定でないなら最大値または最小値を内部でとる点を考えればよく，$g$ が一定なら任意の内部点で $g^{\mathrm{\prime }}(c)=0$ である。

一方 $${\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)-f(x)}{x^2}}$$ であるから $g^{\mathrm{\prime }}(c)=0$ は $c{f}^{\mathrm{\prime }}(c)-f(c)=0$ を意味する。すなわち $f(c)=c{f}^{\mathrm{\prime }}(c)$ である。これは点 $(c,f(c))$ における接線が原点を通ることを表す。よって，曲線 $y=f(x)$ の接線で原点を通るものが存在する。

問1は $d\mid n$ なら $3^d-2^d$ が $3^n-2^n$ を割るという指数差の整除性で対偶を示す。問2は $\mathrm{\Phi }(t)=tf(a\mathrm{/}t)$ とおくと両端値が等しくなることを利用し，ロルの定理から接線条件を直接取り出す。

問1

$n$ が合成数であるとし，$1<d<n$ を満たす約数 $d$ を取る。$n=dm(m>1)$ と書けば$$3^n-2^n=(3^d{)}^m-(2^d{)}^m$$である。指数差の因数分解により $3^d-2^d$ は $3^n-2^n$ の約数である。また$$1<3^d-2^d<3^n-2^n$$なので，$3^n-2^n$ は素数ではない。よって対偶により，$3^n-2^n$ が素数ならば $n$ は素数である。

問2

区間 $1\leqq t\leqq a$ で$$\mathrm{\Phi }(t)=tf\left(\frac{a}{t}\right)$$とおく。$f(a)=af(1)$ より$$\mathrm{\Phi }(1)=f(a)=af(1)=\mathrm{\Phi }(a)$$である。したがってロルの定理により，ある $t_0\in (1,a)$ が存在して ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(t_0)=0$ となる。

$x_0=a\mathrm{/}{t}_0$ とおくと $x_0\in (1,a)$ であり$${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(t)=f\left(\frac{a}{t}\right)-\frac{a}{t}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{a}{t}\right)$$だから$$f(x_0)=x_0{f}^{\mathrm{\prime }}(x_0)$$を得る。点 $(x_0,f(x_0))$ における接線は$$y-f(x_0)=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x-x_0)$$であり，上の等式を用いると $y=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)x$ となる。よってこの接線は原点を通る。