京都大学 2021年度理系数学第6問解答・解説

問題

次の各問に答えよ．

問1 $n$ を2以上の整数とする． $3^{n} - 2^{n}$ が素数ならば $n$ も素数であることを示せ．

問2 $a$ を1より大きい定数とする．微分可能な関数 $f (x)$ が $f (a) = a f (1)$ を満たすとき，曲線 $y = f (x)$ の接線で原点 $(0, 0)$ を通るものが存在することを示せ．

出典：京都大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

解法1（対偶の因数分解と商関数へのロルの定理）

問1は対偶を示す。 $n$ が合成数なら $n = ab$ と書け， $X^{b} - Y^{b}$ の因数分解により $3^{n} - 2^{n}$ が $3^{a} - 2^{a}$ で割り切れることを示す。問2は原点を通る接線条件を，接点 $c$ に対して $f (c) = c f^{'} (c)$ と表す。そこで $g (x) = f (x) / x$ を $[1, a]$ で考え， $g (1) = g (a)$ から微分係数が0になる点を得る。

解法2（指数の整除性と反転変数のロルの定理）

問1は $d ∣ n$ なら $3^{d} - 2^{d}$ が $3^{n} - 2^{n}$ を割るという指数差の整除性で対偶を示す。問2は $Φ (t) = t f (a / t)$ とおくと両端値が等しくなることを利用し，ロルの定理から接線条件を直接取り出す。

解答

解法1（対偶の因数分解と商関数へのロルの定理）

問1

対偶を示す。すなわち， $n$ が合成数ならば $3^{n} - 2^{n}$ は素数でないことを示す。 $n$ が合成数であるとすると $n = ab$ と書ける。ただし $a > 1, b > 1$ である。このとき $3^{n} - 2^{n} = (3^{a})^{b} - (2^{a})^{b}$ である。一般に $X^{b} - Y^{b} = (X - Y) (X^{b - 1} + X^{b - 2} Y + \dots + Y^{b - 1})$ であるから， $3^{n} - 2^{n}$ は $3^{a} - 2^{a}$ で割り切れる。

さらに $a > 1$ より $3^{a} - 2^{a} > 1$ であり， $b > 1$ より $3^{a} - 2^{a} < 3^{n} - 2^{n}$ である。したがって $3^{n} - 2^{n}$ は1より大きく自分自身より小さい約数をもつので，素数ではない。

よって対偶が示されたので， $3^{n} - 2^{n}$ が素数ならば $n$ も素数である。

問2

原点を通る接線が，曲線上の点 $(c, f (c))$ における接線であるための条件を考える。その接線は $y - f (c) = f^{'} (c) (x - c)$ である。これが原点を通ることは $- f (c) = - c f^{'} (c)$ すなわち $f (c) = c f^{'} (c)$ と同値である。

そこで $g (x) = \frac{f ( x )}{x} (1 ≦ x ≦ a)$ とおく。 $a > 1$ であり，この区間では $x \neq = 0$ だから， $g$ は微分可能である。また仮定 $f (a) = a f (1)$ より $g (1) = f (1), g (a) = \frac{f ( a )}{a} = f (1)$ である。

したがって， $g (1) = g (a)$ であるから，区間 $(1, a)$ のある点 $c$ で $g^{'} (c) = 0$ となる。実際， $g$ が途中で一定でないなら最大値または最小値を内部でとる点を考えればよく， $g$ が一定なら任意の内部点で $g^{'} (c) = 0$ である。

一方 $g^{'} (x) = \frac{x f ^{'} ( x ) - f ( x )}{x ^{2}}$ であるから $g^{'} (c) = 0$ は $c f^{'} (c) - f (c) = 0$ を意味する。すなわち $f (c) = c f^{'} (c)$ である。これは点 $(c, f (c))$ における接線が原点を通ることを表す。よって，曲線 $y = f (x)$ の接線で原点を通るものが存在する。

解法2（指数の整除性と反転変数のロルの定理）

問1

$n$ が合成数であるとし， $1 < d < n$ を満たす約数 $d$ を取る。 $n = d m (m > 1)$ と書けば

3^{n} - 2^{n} = (3^{d})^{m} - (2^{d})^{m}

である。指数差の因数分解により $3^{d} - 2^{d}$ は $3^{n} - 2^{n}$ の約数である。また

1 < 3^{d} - 2^{d} < 3^{n} - 2^{n}

なので， $3^{n} - 2^{n}$ は素数ではない。よって対偶により， $3^{n} - 2^{n}$ が素数ならば $n$ は素数である。

問2

区間 $1 ≦ t ≦ a$ で

Φ (t) = t f (\frac{a}{t})

とおく。 $f (a) = a f (1)$ より

Φ (1) = f (a) = a f (1) = Φ (a)

である。したがってロルの定理により，ある $t_{0} \in (1, a)$ が存在して $Φ^{'} (t_{0}) = 0$ となる。

$x_{0} = a / t_{0}$ とおくと $x_{0} \in (1, a)$ であり

Φ^{'} (t) = f (\frac{a}{t}) - \frac{a}{t} f^{'} (\frac{a}{t})

だから

f (x_{0}) = x_{0} f^{'} (x_{0})

を得る。点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ における接線は

y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

であり，上の等式を用いると $y = f^{'} (x_{0}) x$ となる。よってこの接線は原点を通る。

京都大学 2021年度理系数学 第6問

問題

方針

解法1（対偶の因数分解と商関数へのロルの定理）

解法2（指数の整除性と反転変数のロルの定理）

解答

解法1（対偶の因数分解と商関数へのロルの定理）

問1

問2

解法2（指数の整除性と反転変数のロルの定理）

問1

問2

京都大学 2021年度
理系数学第6問