九大 1981年度理系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

行列の積から $a_{n}, b_{n}$ の漸化式を読む。(2) は $n = 1$ を確認してから、 $a_{n + 1} - b_{n + 1} = a_{n} + b_{n} > 0$ と $b_{n + 1} > n + 1$ を示す帰納法で進める。(3) は保存される式を漸化式へ直接代入して確認する。(4) は $b_{n} \to \infty$ と $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = 1$ を組み合わせる。

解答

(1) $(\begin{array}{c} a_{n + 1} \\ b_{n + 1} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{array}) (\begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array})$ であるから $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4 b_{n}, b_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 b_{n}$ である。

(2) $n = 1$ のとき $(\begin{array}{c} a_{1} \\ b_{1} \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ であり、 $a_{1} > b_{1} > 1$ が成り立つ。 $a_{n} > b_{n} > n$ と仮定する。このとき $a_{n + 1} - b_{n + 1} = (3 a_{n} + 4 b_{n}) - (2 a_{n} + 3 b_{n}) = a_{n} + b_{n} > 0$ であるから $a_{n + 1} > b_{n + 1}$ である。また $b_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 b_{n} > 2 n + 3 n = 5 n$ であり、 $n ≧ 1$ だから $5 n > n + 1$ である。したがって $b_{n + 1} > n + 1$ である。
以上より $a_{n + 1} > b_{n + 1} > n + 1$ が成り立つ。数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $a_{n} > b_{n} > n$ である。

(3) $n = 1$ のとき $a_{1}^{2} - 2 b_{1}^{2} = 3^{2} - 2 \cdot 2^{2} = 1$ である。さらに漸化式を用いて計算すると $\begin{aligned} a_{n + 1}^{2} - 2 b_{n + 1}^{2} & = (3 a_{n} + 4 b_{n})^{2} - 2 (2 a_{n} + 3 b_{n})^{2} \\ = 9 a_{n}^{2} + 24 a_{n} b_{n} + 16 b_{n}^{2} - 8 a_{n}^{2} - 24 a_{n} b_{n} - 18 b_{n}^{2} \\ = a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} \end{aligned}$ である。したがって $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = 1$ ならば $a_{n + 1}^{2} - 2 b_{n + 1}^{2} = 1$ である。
数学的帰納法により $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = 1$ がすべての正の整数 $n$ で成り立つ。

(4)
(2) より $b_{n} > n$ であるから、 $n \to \infty$ のとき $b_{n} \to \infty$ である。(3) より ${(\frac{a_{n}}{b_{n}})}^{2} - 2 = \frac{1}{b_{n}^{2}}$ であるから、右辺は $0$ に近づく。したがって ${(\frac{a_{n}}{b_{n}})}^{2} \to 2$ である。さらに $a_{n} > b_{n} > 0$ より $a_{n} / b_{n} > 0$ なので $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \sqrt{2}$ である。
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別解

解法2（和と差を等比数列にする）

方針

(1) の漸化式を得た後、 $u_{n} = a_{n} + \sqrt{2} b_{n}$ ,
$v_{n} = a_{n} - \sqrt{2} b_{n}$ とおく。それぞれが公比
$3 + 2 \sqrt{2}$ , $3 - 2 \sqrt{2}$ の等比数列になるため、
$a_{n}, b_{n}$ の明示式、保存式、比の極限をまとめて得る。
(2) の大小関係は漸化式による帰納法で確認する。

解答

(1) 行列の積から $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4 b_{n}, b_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 b_{n} .$ (2) $(a_{1}, b_{1}) = (3, 2)$ なので $a_{1} > b_{1} > 1$ である。
$a_{n} > b_{n} > n$ と仮定すると $a_{n + 1} - b_{n + 1} = a_{n} + b_{n} > 0$ であり、また $b_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 b_{n} > 5 n > n + 1.$ よって帰納法により $a_{n} > b_{n} > n$ が成り立つ。

(3) $a_{0} = 1$ , $b_{0} = 0$ と考え、 $u_{n} = a_{n} + \sqrt{2} b_{n}, v_{n} = a_{n} - \sqrt{2} b_{n}$ とおく。(1) より $u_{n + 1} = (3 + 2 \sqrt{2}) u_{n}, v_{n + 1} = (3 - 2 \sqrt{2}) v_{n} .$ $u_{0} = v_{0} = 1$ だから $u_{n} = (3 + 2 \sqrt{2})^{n}, v_{n} = (3 - 2 \sqrt{2})^{n} .$ ここで $(3 + 2 \sqrt{2}) (3 - 2 \sqrt{2}) = 1$ なので $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = u_{n} v_{n} = 1.$ (4) $0 < 3 - 2 \sqrt{2} < 1 < 3 + 2 \sqrt{2}$ だから
$v_{n} / u_{n} \to 0$ である。また $a_{n} = \frac{u_{n} + v_{n}}{2}, b_{n} = \frac{u_{n} - v_{n}}{2 \sqrt{2}} .$ よって $\frac{a_{n}}{b_{n}} = \sqrt{2} \frac{1 + v_{n} / u_{n}}{1 - v_{n} / u_{n}} ⟶ \sqrt{2} .$

総評

行列から生じる漸化式、帰納法、保存式、極限を扱う問題。目安時間は29分。問題文が行列を明示するため行列計算を用いる。(3) の保存式は直接展開でも、 $a_{n} \pm \sqrt{2} b_{n}$ の積でも確認できる。極限では比が正であることを忘れない。
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出典: 九州大学 1981年度数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

九州大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

方針

解答

別解

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九州大学 1981年度前期日程第2次学力試験理系数学第3問