九州大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $X=\tan t$ と置く。$-\pi \mathrm{/}2<t<\pi \mathrm{/}2$ であるから、$X$ はすべての実数を1回ずつ動く。また $$\tan 2t={\displaystyle \frac{2X}{1-X^2}},\tan 3t={\displaystyle \frac{3X-X^3}{1-3X^2}}$$ である。したがって $X\mathrm{\ne }0$ では$$Y={\displaystyle \frac{\tan 3t}{\tan 2t}}={\displaystyle \frac{3X-X^3}{1-3X^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1-X^2}{2X}}={\displaystyle \frac{(3-X^2)(1-X^2)}{2(1-3X^2)}}\mathrm{.}$$右辺は $X^2$ だけで決まるので、グラフは $y$ 軸対称である。 $t=0$ では問題の指定により極限値を取る。上の式で $X\to 0$ とすれば $$Y\to {\displaystyle \frac{3}{2}}$$ であるから、点 $(0,3\mathrm{/}2)$ を通る。

次に特徴を調べる。分母が0になるのは $1-3X^2=0$ すなわち $$X=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。ここでは分子が0でないので、縦の漸近線である。

また $X=\pm 1$ では $\tan 2t$ が定義されないため、元の点は存在しない。ただし有理式の極限は $Y=0$ であるから、$(1,0)$、$(-1,0)$ は穴として描く。零点は分子より $$X=\pm \sqrt{3}$$ である。以上を用いて、$y$ 軸対称、漸近線 $$X=\pm 1\mathrm{/}\sqrt{3}$$、穴 $(\pm 1,0)$、零点 $(\pm \sqrt{3},0)$、切片 $(0,3\mathrm{/}2)$ を持つグラフを描けばよい。

(2) $z={\tan }^{2}x$ と置く。$-\pi \mathrm{/}2<x<\pi \mathrm{/}2$ では $z\geqq 0$ であり、$z=0$ は $x=0$ だけに対応し、$z>0$ は $x$ と $-x$ の2個に対応する。

(1) より $$F(z)={\displaystyle \frac{(3-z)(1-z)}{2(1-3z)}}$$ と置けば、方程式は $a=F(z)$ である。ただし $$z\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{3}},z\mathrm{\ne }1$$ に注意する。前者は分母が0になる点、後者は $\tan 2x$ が定義されない点である。

増減を調べる。計算すると $$F^{\mathrm{\prime }}(z)=-{\displaystyle \frac{(z+1)(3z-5)}{2(3z-1{)}^2}}$$ である。したがって $z\geqq 0$ では、$0\leqq z<5\mathrm{/}3$ で増加し、$z>5\mathrm{/}3$ で減少する。ただし $z=1\mathrm{/}3$、$z=1$ で区間を分ける必要がある。

各区間の値を整理する。 $$F(0)={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ であり、$z\to 1\mathrm{/}3-0$ で $F(z)\to +\mathrm{\infty }$ である。よって $$0\leqq z<{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ での値域は $[{\displaystyle \frac{3}{2}},\mathrm{\infty })$ である。

次に $${\displaystyle \frac{1}{3}}<z<1$$ では、$z\to 1\mathrm{/}3+0$ で $F(z)\to -\mathrm{\infty }$、$z\to 1-0$ で $F(z)\to 0$ である。ただし $z=1$ は含まないので、値域は $(-\mathrm{\infty },0)$ である。

さらに $z>1$ を考える。$z\to 1+0$ で $F(z)\to 0$、$z=5\mathrm{/}3$ で最大となり、$$F\left({\displaystyle \frac{5}{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{9}}$$ である。また $z=3$ で $F(z)=0$、$z\to \mathrm{\infty }$ で $F(z)\to -\mathrm{\infty }$ である。したがってこの区間からは、$0<a<1\mathrm{/}9$ で2個の $z$、$a=1\mathrm{/}9$ で1個の $z$、$a=0$ で1個の $z$、$a<0$ で1個の $z$ が得られる。

これらを $x$ の個数に直す。$z=0$ は $x=0$ の1個、$z>0$ は2個の $x$ を与える。

以上より、求める個数は$$\begin{array}{cc}\text{条件}& \text{解の個数}\\ a<0& 4\\ a=0& 2\\ 0<a<{\displaystyle \frac{1}{9}}& 4\\ a={\displaystyle \frac{1}{9}}& 2\\ {\displaystyle \frac{1}{9}}<a<{\displaystyle \frac{3}{2}}& 0\\ a={\displaystyle \frac{3}{2}}& 1\\ a>{\displaystyle \frac{3}{2}}& 2\end{array}$$である。

$X=\tan x,z=X^2$ と置く。$a=F(z)$ を二次方程式へ直し、判別式・根の和・積から非負根の個数を数える。$z=0$ だけ $x$ が1個、正根は $\pm x$ の2個に対応する。

(1)

(1) $X=\tan t$ とおくと$$Y={\displaystyle \frac{(3-X^2)(1-X^2)}{2(1-3X^2)}}\mathrm{.}$$したがってグラフは $y$ 軸対称で、$X=\pm 1\mathrm{/}\sqrt{3}$ が縦の漸近線、$(\pm 1,0)$ は穴、$(\pm \sqrt{3},0)$ は零点、$(0,3\mathrm{/}2)$ は通る点である。

(2) $z={\tan }^{2}x\geqq 0$ とすると、$a=F(z)$ は$$z^2+(6a-4)z+3-2a=0$$と同値で、判別式は$$4(9a-1)(a-1)$$である。ただし $z=1$ は元の式で除外され、$z=1\mathrm{/}3$ は漸近点である。

根の和 $4-6a$、積 $3-2a$ も用いると、非負根の個数は次のようになる。正根1個は $x$ を2個、正根2個は4個、$z=0$ は $x=0$ の1個を与える。$$\begin{array}{cc}a\text{ の範囲}& x\text{ の個数}\\ a<0& 4\\ a=0& 2\\ 0<a<1\mathrm{/}9& 4\\ a=1\mathrm{/}9& 2\\ 1\mathrm{/}9<a<3\mathrm{/}2& 0\\ a=3\mathrm{/}2& 1\\ a>3\mathrm{/}2& 2\end{array}$$これは増減表による数え上げとも一致する。