九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

高さ $z=t$ の平面で切る。円柱の中心軸は $x$ 軸で、半径が $r$ だから $y^2+z^2\leqq r^2$ である。したがって $z=t$ では $$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{r^2-t^2}$$ となる。

一方、正四角柱の $xy$ 平面による切り口は、対角線が $x$ 軸と $y$ 軸で、対角線の半分の長さが $2\mathrm{/}r$ である。したがってその正方形は $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{2}{r}}$ で表される。

固定した $y$ に対して、正四角柱内で許される $x$ の長さは $2({\displaystyle \frac{2}{r}}-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })$ である。ここで $0<r\leqq \sqrt{2}$ なので $r\leqq 2\mathrm{/}r$ であり、$$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{r^2-t^2}\leqq r$$ の範囲ではこの長さは非負である。

よって断面積 $A(t)$ は$$A(t)={\int }_{-\sqrt{r^2-t^2}}^{\sqrt{r^2-t^2}}2({\displaystyle \frac{2}{r}}-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })dy$$である。対称性を用いて計算すると$$A(t)=4{\int }_0^{\sqrt{r^2-t^2}}({\displaystyle \frac{2}{r}}-y)dy$$$$={\displaystyle \frac{8}{r}}\sqrt{r^2-t^2}-2(r^2-t^2)$$ である。

(2)

体積は断面積を $t$ について積分して$$V(r)={\int }_{-r}^r\{{\displaystyle \frac{8}{r}}\sqrt{r^2-t^2}-2(r^2-t^2)\}dt$$である。ここで$${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-t^2}dt={\displaystyle \frac{\pi r^2}{2}}$$であり、これは半径 $r$ の半円の面積である。また$${\int }_{-r}^r(r^2-t^2)dt={[r^{2}t-{\displaystyle \frac{t^3}{3}}]}_{-r}^r={\displaystyle \frac{4r^3}{3}}$$である。

したがって$$V(r)={\displaystyle \frac{8}{r}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi r^2}{2}}-2\cdot {\displaystyle \frac{4r^3}{3}}=4\pi r-{\displaystyle \frac{8}{3}}{r}^3$$である。

(3) $V(r)=4\pi r-{\displaystyle \frac{8}{3}}{r}^3$ より $V^{\mathrm{\prime }}(r)=4\pi -8r^2$ である。$V^{\mathrm{\prime }}(r)=0$ となるのは $$r=\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$$ である。この値は $0<r\leqq \sqrt{2}$ に含まれる。$V^{\mathrm{\prime }}(r)$ はこの値より小さいところで正、大きいところで負なので、ここで最大となる。

最大値は$$V\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\right)=4\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}-{\displaystyle \frac{8}{3}}{\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\right)}^3$$であり、$r^2=\pi \mathrm{/}2$ を用いて $$V_{\max }={\displaystyle \frac{8\pi }{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$$ である。

(1) は第1象限の台形を4倍して断面積を出す。
(2)では積分順序を変え、固定した $y$ に対して
$x$ の幅と $z$ の幅の積を積分することで体積を直接求める。

(1)
$z=t$ では円柱条件から$$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq u,u=\sqrt{r^2-t^2},$$四角柱条件から $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\leqq 2\mathrm{/}r$ である。
$u\leqq r\leqq 2\mathrm{/}r$ なので第1象限の断面は$$0\leqq y\leqq u,0\leqq x\leqq 2\mathrm{/}r-y$$ である。よって$$A(t)=4{\int }_0^u({\displaystyle \frac{2}{r}}-y)dy={\displaystyle \frac{8}{r}}\sqrt{r^2-t^2}-2(r^2-t^2)\mathrm{.}$$(2)
今度は $y$ を固定する。$-r\leqq y\leqq r$ に対し、
$x$ の幅は $2(2\mathrm{/}r-\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })$、$z$ の幅は
$2\sqrt{r^2-y^2}$ である。したがって$$V(r)=8{\int }_0^r({\displaystyle \frac{2}{r}}-y)\sqrt{r^2-y^2}dy\mathrm{.}$$ここで$${\int }_0^r\sqrt{r^2-y^2}dy={\displaystyle \frac{\pi r^2}{4}},{\int }_0^{r}y\sqrt{r^2-y^2}dy={\displaystyle \frac{r^3}{3}}\mathrm{.}$$よって$$V(r)=4\pi r-{\displaystyle \frac{8}{3}}{r}^3\mathrm{.}$$(3)$$V^{\mathrm{\prime }}(r)=4\pi -8r^2\mathrm{.}$$定義域内の唯一の臨界点 $$r=\sqrt{\pi \mathrm{/}2}$$ の前後で
導関数は正から負へ変わる。したがって$$V_{\max }={\displaystyle \frac{8\pi }{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}\mathrm{.}$$