九州大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第1問

まず，後で使いやすい形に直しておく．$u=\log (1\mathrm{/}t)$とおくと$t=e^{-u}$，$dt=-e^{-u}du$である．また$t=e^{-x}$のとき$u=x$，$t=1$のとき$u=0$である．したがって$$f_n(x)={\int }_{e^{-x}}^1{(\log {\displaystyle \frac{1}{t}})}^{n}dt={\int }_0^x{u}^n{e}^{-u}du$$である．

(1)

上の表示から，積分の上端が$x$であることを用いて $${\displaystyle \frac{d{f}_n(x)}{dx}}=x^n{e}^{-x}$$ である．

なお，元の式から直接微分してもよい．下端$e^{-x}$の微分は$-e^{-x}$なので$${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_{e^{-x}}^1{(\log {\displaystyle \frac{1}{t}})}^{n}dt=-{(\log e^x)}^n(-e^{-x})=x^n{e}^{-x}$$となる．

(2)

$n=1$ のとき$$f_1(x)={\int }_0^{x}u{e}^{-u}du$$である．部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int u{e}^{-u}du}& {\displaystyle =-u{e}^{-u}-e^{-u}}\end{array}$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_1(x)}& {\displaystyle ={[-(u+1)e^{-u}]}_0^x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(x+1)e^{-x}+1}\end{array}$$である．よって $f_1(x)=1-(x+1)e^{-x}$ である．

(3)

$n>1$ とする．$$f_n(x)={\int }_0^x{u}^n{e}^{-u}du$$で部分積分を行う．$u^n$を微分する側，$e^{-u}$を積分する側に取ると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_n(x)}& {\displaystyle ={[-u^n{e}^{-u}]}_0^x+n{\int }_0^x{u}^{n-1}{e}^{-u}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-x^n{e}^{-x}+n{f}_{n-1}(x)}\end{array}$$である．したがって $$f_n(x)=n{f}_{n-1}(x)-x^n{e}^{-x}$$ である．

(4) $$L_n=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$$とおく．問題文で与えられた極限より $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n{e}^{-x}=0$$ である．したがって(3)から $L_n=n{L}_{n-1}$ を得る．また(2)より $$L_1=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{1-(x+1)e^{-x}\}=1$$ である．よって $$L_n=n(n-1)\cdots 2\cdot L_1=n!$$ となる．したがって $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=n!$$ である．

変数変換後の積分を繰り返し部分積分し，$f_n(x)$ を有限和で明示する．この1本の式を微分・比較・極限計算に使い，(1)〜(4)をまとめて確認する．

まず $u=\log (1\mathrm{/}t)$ とおくと$$f_n(x)={\int }_0^x{u}^n{e}^{-u}du\mathrm{.}$$この積分を繰り返し部分積分すると$$f_n(x)=n!(1-e^{-x}\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{x^k}{k!}})$$を得る．実際，$n=1$ では$$f_1(x)=1-(x+1)e^{-x}$$で成立する．また $n-1$ で成立するとき，1回の部分積分から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_n(x)}& {\displaystyle =-x^n{e}^{-x}+n{f}_{n-1}(x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n!(1-e^{-x}\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{x^k}{k!}})}\end{array}$$となるので，帰納的に この有限和表示 が示される．

(1)

この有限和表示 を微分する．有限和の隣り合う項が相殺して$${\displaystyle \frac{d{f}_n(x)}{dx}}=x^n{e}^{-x}\mathrm{.}$$(2)

この有限和表示 に $n=1$ を代入して$$f_1(x)=1-(x+1)e^{-x}\mathrm{.}$$(3)

上の帰納計算そのものから$$f_n(x)=n{f}_{n-1}(x)-x^n{e}^{-x}(n>1)\mathrm{.}$$(4)

この有限和表示 の和は有限個であり，各項について$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^k{e}^{-x}=0$$である．したがって$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=n!\mathrm{.}$$