九州大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $z=0$を代入すると$$\frac{{\lambda }_1-1}{3+{\lambda }_1}=\frac{i-1}{7+i}\mathrm{.}$$整理して$8{\lambda }_1=4+4i$，よって$${\lambda }_1=\frac{1+i}{2}\mathrm{.}$$実際，この値を求める式の分子・分母に代入して2倍すると，元の$f(z)$の係数とすべて一致する。

(2) $\rho =\mathrm{\mid }{\lambda }_1\mathrm{\mid }=1\mathrm{/}\sqrt{2}$，$w=z^m$，$r=\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }={\rho }^m$とおく。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }3+w{\mathrm{\mid }}^2-3\mathrm{\mid }w-1{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =6+12\mathrm{Re}w-2\mathrm{\mid }w{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \ge 6-12r-2r^2\mathrm{.}}\end{array}$$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\rho$の円を動くと$w$も$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=r$の円を動くので，等号となる$w=-r$も実現する。
したがって，すべての$z$で求める不等式が成り立つための必要十分条件は
$6-12{\rho }^m-2{\rho }^{2m}>0$である。
$m=1,2,3$でこの最小値は順に$$5-6\sqrt{2}<0,-\frac{1}{2}<0,\frac{23}{4}-3\sqrt{2}>0.$$最後の正値は${23}^2>(12\sqrt{2}{)}^2$から分かる。よって$$m=3.$$(3) $F_u(z)$を$$F_u(z)=\frac{(1+3u)z+\sqrt{3}(u-1)}{\sqrt{3}(u-1)z+3+u}$$と書く。合成が定義できるとき，分子・分母を展開して整理すると$$F_u(F_v(z))=F_{uv}(z)$$となる。実際，合成後の分子は
$4(1+3uv)z+4\sqrt{3}(uv-1)$，分母は
$4\sqrt{3}(uv-1)z+4(3+uv)$である。
まず$u=v={\lambda }_1$とし，${\lambda }_1^2=i\mathrm{/}2$を用いて$$z_2=\frac{(2+3i)z+\sqrt{3}(i-2)}{\sqrt{3}(i-2)z+6+i}\mathrm{.}$$一般には$$z_n=\frac{(1+3{\lambda }_1^n)z+\sqrt{3}({\lambda }_1^n-1)}{\sqrt{3}({\lambda }_1^n-1)z+3+{\lambda }_1^n}$$と予想する。

分母を$D_n=\sqrt{3}({\lambda }_1^n-1)z+3+{\lambda }_1^n$とおく。
$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$なので，$\mathrm{\mid }3+{\lambda }_1^n\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }\sqrt{3}({\lambda }_1^n-1)\mathrm{\mid }$なら$D_n\mathrm{\ne }0$である。
二つの絶対値の2乗の差は$n=1$で11，$n=2$で$11\mathrm{/}2$。
$n\ge 3$では$\mathrm{\mid }{\lambda }_1^n\mathrm{\mid }\le 1\mathrm{/}(2\sqrt{2})$だから，(2)と同じ評価で$$\mathrm{\mid }3+{\lambda }_1^n{\mathrm{\mid }}^2-3\mathrm{\mid }{\lambda }_1^n-1{\mathrm{\mid }}^2\ge \frac{23}{4}-3\sqrt{2}>0.$$したがってすべての$n\ge 1$で$D_n\mathrm{\ne }0$であり，$D_0=4\mathrm{\ne }0$でもある。

$n=0$では予想した式は$z_0=z$となる。
$n-1$で成り立つと仮定すると，元の$f$の分母に$z_{n-1}$を代入した値は$$\sqrt{3}(i-1)z_{n-1}+7+i=\frac{8D_n}{D_{n-1}}\mathrm{\ne }0.$$ゆえに$z_n$が定義でき，合成の公式から$z_n=F_{{\lambda }_1^n}(z)$となる。
数学的帰納法で，列の定義と予想した式の両方が示された。

(4) ${\lambda }_1^n\to 0$であり，$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$より$3-\sqrt{3}z\mathrm{\ne }0$である。
したがって$$z_n⟶\frac{z-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}z}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$極限は実数なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{r}_n=0.$$

二つの固定点からの差の比を使う別解。

分数式のまま反復する代わりに，$\sqrt{3}$と$-1\mathrm{/}\sqrt{3}$からの差を比べる。
直接計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F_u(z)-\sqrt{3}}& {\displaystyle =\frac{4(z-\sqrt{3})}{\sqrt{3}(u-1)z+3+u},}\\ {\displaystyle F_u(z)+\frac{1}{\sqrt{3}}}& {\displaystyle =\frac{4u(z+1\mathrm{/}\sqrt{3})}{\sqrt{3}(u-1)z+3+u}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$T(z)=(z+1\mathrm{/}\sqrt{3})\mathrm{/}(z-\sqrt{3})$とおけば
$T(F_u(z))=uT(z)$となる。
答案で示した分母の確認を用いると，$z_n\mathrm{\ne }\sqrt{3}$も順に分かり，
$T(z_n)={\lambda }_1^{n}T(z)$が成り立つ。
この式を$z_n$について解くと(3)の式が得られ，(4)の極限も求まる。

極限へ進む前に，途中の分母と，差の比で割る$z_n-\sqrt{3}$を確認する。
式の形が規則的でも，定義されていない項を含めて帰納法を進めることはできない。