名古屋大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

対称軸を $x=h$ とおく。$x=h+u$ と置くと、与えられた関数は $(h+u{)}^4+a(h+u{)}^3+b(h+u{)}^2+c(h+u)+d$ である。グラフが $x=h$ に関して対称であるためには、この式が $u$ の偶関数、すなわち $u$ の奇数次の項を持たないことが必要十分である。

展開して奇数次の係数だけを見る。$u^3$ の係数は $4h+a$ であるから $4h+a=0$ でなければならない。また $u$ の係数は $4h^3+3a{h}^2+2bh+c$ であるから $4h^3+3a{h}^2+2bh+c=0$ でなければならない。

第1式より $$h=-{\displaystyle \frac{a}{4}}$$ である。これを第2式に代入すると$$4{(-{\displaystyle \frac{a}{4}})}^3+3a{(-{\displaystyle \frac{a}{4}})}^2+2b(-{\displaystyle \frac{a}{4}})+c=0$$である。左辺を整理して $$-{\displaystyle \frac{a^3}{16}}+{\displaystyle \frac{3a^3}{16}}-{\displaystyle \frac{ab}{2}}+c=0$$ すなわち $${\displaystyle \frac{a^3}{8}}-{\displaystyle \frac{ab}{2}}+c=0$$ となる。よって $a^3-4ab+8c=0$ である。

逆に、この関係式が成り立つなら $h=-a\mathrm{/}4$ とおけば、上で求めた $u^3$ と $u$ の係数がともに0になるので、$x=h$ に関して対称である。したがってこの条件は必要十分である。なお $d$ は定数項として上下移動だけを表すため、対称性の条件には関係しない。

グラフが $x=h$ に関して対称なら、導関数は $h$ のまわりで符号が反転する。$f^{\mathrm{\prime }}(h+u)+f^{\mathrm{\prime }}(h-u)=0$ を恒等式として係数比較し、$h$ を消去する。逆向きも積分定数まで確認する。

$$F(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$$とする。グラフが直線 $x=h$ に関して対称であるための必要十分条件は、$$F^{\mathrm{\prime }}(h+u)=-F^{\mathrm{\prime }}(h-u)$$がすべての実数 $u$ で成り立つことである。$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+3a{x}^2+2bx+c$$なので、両辺を移項して整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(h+u)+F^{\mathrm{\prime }}(h-u)}& {\displaystyle =8h^3+6a{h}^2+4bh+2c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(24h+6a)u^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$24h+6a=0,8h^3+6a{h}^2+4bh+2c=0.$$第1式から$$h=-{\displaystyle \frac{a}{4}}\mathrm{.}$$これを第2式へ代入すると$${\displaystyle \frac{a^3}{4}}-ab+2c=0,$$すなわち$$a^3-4ab+8c=0.$$逆にこの関係が成り立つとき $h=-a\mathrm{/}4$ とおけば$$F^{\mathrm{\prime }}(h+u)=-F^{\mathrm{\prime }}(h-u)$$である。両辺を $u$ について積分し、$u=0$ での値を合わせれば$$F(h+u)=F(h-u)$$となる。よって条件は必要十分である。$d$ は任意である。