岡山大学 2016年度 前期理系数学 第3問

(1) $$f_a(x)=ax{e}^{-x\mathrm{/}a}$$より$$f_a^{\mathrm{\prime }}(x)=(a-x)e^{-x\mathrm{/}a}$$であり，さらに$$f_a^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(\frac{x}{a}-2)e^{-x\mathrm{/}a}$$である。$e^{-x\mathrm{/}a}>0$だから，変曲点では$$\frac{x}{a}-2=0$$，すなわち$x=2a$である。したがって$$y=f_a(2a)=a\cdot 2a\cdot e^{-2}=\frac{2a^2}{e^2}$$であり，点$P$の座標は$$(2a,\frac{2a^2}{e^2})$$である。

(2)
(1)より$x=2a$，$$y=\frac{2a^2}{e^2}$$である。$$a=\frac{x}{2}$$を代入して$$y=\frac{x^2}{2e^2}$$を得る。また$1\leqq a\leqq 2$だから$$2\leqq x\leqq 4$$である。したがって曲線$C$は，放物線$$y=\frac{x^2}{2e^2}$$のうち$2\leqq x\leqq 4$の部分である。端点は$$(2,\frac{2}{e^2}),(4,\frac{8}{e^2})$$である。

(3)
$f_1(x)=x{e}^{-x}$，$f_2(x)=2x{e}^{-x\mathrm{/}2}$である。$x=0$で$f_1(x)=f_2(x)=0$である。また(2)の曲線$C$は，$x=2$で$f_1$と交わり，$x=4$で$f_2$と交わる。実際，$$f_1(2)=\frac{2}{e^2},f_2(4)=\frac{8}{e^2}$$である。

したがって囲まれた部分の面積$S$は$$S={\int }_0^2\{2x{e}^{-x\mathrm{/}2}-x{e}^{-x}\}dx+{\int }_2^4\{2x{e}^{-x\mathrm{/}2}-\frac{x^2}{2e^2}\}dx$$である。$$\int 2x{e}^{-x\mathrm{/}2}dx=-4(x+2)e^{-x\mathrm{/}2},\int x{e}^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}$$であるから$${\int }_0^2\{2x{e}^{-x\mathrm{/}2}-x{e}^{-x}\}dx=7-\frac{16}{e}+\frac{3}{e^2}$$である。また$${\int }_2^4\{2x{e}^{-x\mathrm{/}2}-\frac{x^2}{2e^2}\}dx=\frac{16}{e}-\frac{100}{3e^2}$$である。よって$$S=7-\frac{91}{3e^2}$$である。

(1) (2) は $g(t)=t{e}^{-t}$ とおいて $f_a(x)=a^{2}g(x\mathrm{/}a)$ と見れば，全グラフが横に $a$ 倍，縦に $a^2$ 倍された形だと分かる。(3) は上側の $f_2$ の下の面積から，$[0,2]$ の $f_1$ の下と $[2,4]$ の $C$ の下をまとめて引く。

(1) $g(t)=t{e}^{-t}$ とおくと$$f_a(x)=a^{2}g\left(\frac{x}{a}\right)\mathrm{.}$$ここで$$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=(t-2)e^{-t}$$であり，$e^{-t}>0$ だから $g$ の凹凸が変わるのは $t=2$ である。したがって $x\mathrm{/}a=2$，すなわち $x=2a$ で凹凸が変わり，$$P=(2a,\frac{2a^2}{e^2})\mathrm{.}$$(2) $x=2a$ から $a=x\mathrm{/}2$ を消去すると$$y=\frac{x^2}{2e^2},2\leqq x\leqq 4.$$したがって $C$ は上に開く放物線のこの部分で，端点は$$(2,\frac{2}{e^2}),(4,\frac{8}{e^2})$$である。3曲線の位置関係は次のようになる。

(3) $0<x\leqq 2$ では$$\frac{f_2(x)}{f_1(x)}=2e^{x\mathrm{/}2}>1.$$また $2\leqq x\leqq 4$ では $e^{2-x\mathrm{/}2}\geqq 1$ かつ $x\leqq 4$ だから$$4e^{2-x\mathrm{/}2}\geqq 4\geqq x,$$すなわち $f_2(x)\geqq x^2\mathrm{/}(2e^2)$ である。よって囲まれた部分の面積 $S$ は$$S={\int }_0^4{f}_2(x)dx-{\int }_0^2{f}_1(x)dx-{\int }_2^4\frac{x^2}{2e^2}dx\mathrm{.}$$各項は$${\int }_0^{4}2x{e}^{-x\mathrm{/}2}dx=8-\frac{24}{e^2},$$$${\int }_0^{2}x{e}^{-x}dx=1-\frac{3}{e^2},{\int }_2^4\frac{x^2}{2e^2}dx=\frac{28}{3e^2}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =8-\frac{24}{e^2}-(1-\frac{3}{e^2})-\frac{28}{3e^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =7-\frac{91}{3e^2}\mathrm{.}}\end{array}$$