岡山大学 2022年度 前期 数学I・II・III・A・B理系数学 第4問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1-x}-\log (1-x)+\frac{x}{1-x}=-\frac{x}{1+x}-\log (1-x)$$である。$g(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ とおくと$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{(1+x{)}^2}+\frac{1}{1-x}=\frac{x(x+3)}{(1-x)(1+x{)}^2}$$である。$-1<x<0$ では $g^{\mathrm{\prime }}(x)<0$，$0<x<1$ では $g^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ であり，$g(0)=0$ である。したがって $-1<x<1$ で$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x)\geqq 0$$である。

(2)
$f(0)=0$ であり，(1)より $f(x)$ は $-1<x<1$ で増加する。また $x\mathrm{\ne }0$ では $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ となる区間を通るので，$x>0$ なら $f(x)>0$，$x<0$ なら $f(x)<0$ である。よって$$\frac{f(x)}{x}>0$$である。

(3)
$x=1\mathrm{/}n$ とおくと，$0<x<1$ である。(2)より $f(x)>0$ だから$$\log (1-x^2)-x\log (1-x)>0$$である。したがって$$\log (1-x)<\frac{1}{x}\log (1-x^2)$$であり，これは$$\frac{n-1}{n}<{\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)}^n$$を意味する。

また (2)より $f(-x)<0$ であるから$$\log (1-x^2)+x\log (1+x)<0$$である。これは$$\log (1-x)+(1+x)\log (1+x)<0$$と同値であり，さらに$$(\frac{1}{x}+1)\log (1-x^2)<\log (1-x)$$と同値である。$x=1\mathrm{/}n$ を戻すと$${\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)}^{n+1}<\frac{n-1}{n}$$である。以上より$${\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)}^{n+1}<\frac{n-1}{n}<{\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)}^n$$が成り立つ。

$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ を求め、$x>0$ と $x<0$ に分けて
対数の積分表示から正値性を示し、$f(\pm 1\mathrm{/}n)$ の符号を使う。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{x}{1+x}-\log (1-x),f^{\mathrm{\prime }}(0)=0.$$$0<x<1$ なら$$-\log (1-x)={\int }_0^x\frac{dt}{1-t}>{\int }_0^{x}1dt=x>\frac{x}{1+x}⟹f^{\mathrm{\prime }}(x)>0.$$また $x=-y,0<y<1$ なら$$\log (1+y)={\int }_0^y\frac{dt}{1+t}<y<\frac{y}{1-y},⟹f^{\mathrm{\prime }}(-y)=\frac{y}{1-y}-\log (1+y)>0.$$以上より $${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0(-1<x<1)}$$ である。

(2)
$f(0)=0$ かつ $f$ は狭義単調増加だから、$f(x)$ と $x$ は同符号であり、$${\displaystyle \frac{f(x)}{x}>0}$$ である。

(3)
$u=1\mathrm{/}n(0<u<1)$ とおく。$f(u)>0$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \log (1-u^2)}& {\displaystyle >u\log (1-u)}\\ {\displaystyle ⟹\frac{n-1}{n}}& {\displaystyle <{\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$$一方、$f(-u)<0$ と$$\log (1-u^2)=\log (1-u)+\log (1+u)$$ から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (\frac{1}{u}+1)\log (1-u^2)}& {\displaystyle <\log (1-u)}\\ {\displaystyle ⟹{\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)}^{n+1}}& {\displaystyle <\frac{n-1}{n}\mathrm{.}}\end{array}$$以上より題意の不等式が成り立つ。