大阪大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $x=nu$ とおくと、$x=0$ のとき $u=0$、$x=n$ のとき $u=1$、また $dx=ndu$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^n{f}_n(x)dx}& {\displaystyle ={\int }_0^1\frac{nu}{n(1+nu)}\log (1+u)ndu}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1\frac{nu}{1+nu}\log (1+u)du}\end{array}$$である。 $0\leqq u\leqq 1$ では $$0\leqq \frac{nu}{1+nu}\leqq 1$$ であり、また $\log (1+u)\geqq 0$ である。よって $$\frac{nu}{1+nu}\log (1+u)\leqq \log (1+u)$$ である。両辺を $0\leqq u\leqq 1$ で積分して $${\int }_0^n{f}_n(x)dx\leqq {\int }_0^1\log (1+x)dx$$ を得る。最後の積分変数は名前を $u$ から $x$ に戻しただけである。

(2)

(1) の置換表示より $$I_n={\int }_0^1\frac{nu}{1+nu}\log (1+u)du$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1\log (1+u)du-I_n}& {\displaystyle ={\int }_0^1(1-\frac{nu}{1+nu})\log (1+u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1\frac{\log (1+u)}{1+nu}du}\end{array}$$である。右辺は非負である。

問題文の指示通り、$0\leqq u\leqq 1$ で $\log (1+u)\leqq \log 2$ を用いると$$0\leqq {\int }_0^1\frac{\log (1+u)}{1+nu}du\leqq \log 2{\int }_0^1\frac{du}{1+nu}$$である。右端を計算すると$${\int }_0^1\frac{du}{1+nu}={[\frac{1}{n}\log (1+nu)]}_0^1=\frac{1}{n}\log (n+1)$$であるから、$$0\leqq {\int }_0^1\log (1+u)du-I_n\leqq \frac{\log 2}{n}\log (n+1)$$ である。

ここで $$\frac{\log (n+1)}{n}=\frac{n+1}{n}\cdot \frac{\log (n+1)}{n+1}$$ であり、問題文で与えられた $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log x}{x}=0$$ から $\frac{\log (n+1)}{n}\to 0$ である。よってはさみうちにより ${\int }_0^1\log (1+u)du-I_n\to 0$ である。したがって $I_n$ は収束し、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n={\int }_0^1\log (1+u)du$$ である。

最後にこの積分を計算する。$v=1+u$ とおくと $${\int }_0^1\log (1+u)du={\int }_1^2\log vdv$$ である。部分積分より $$\int \log vdv=v\log v-v$$ だから $${\int }_1^2\log vdv=(2\log 2-2)-(1\cdot 0-1)=2\log 2-1$$ である。ゆえに $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n=2\log 2-1$$ である。