東北大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$y={\displaystyle \frac{a}{2}}(e^{x\mathrm{/}a}+e^{-x\mathrm{/}a})$$を微分すると$$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{x\mathrm{/}a}-e^{-x\mathrm{/}a})\mathrm{.}$$恒等式$${(e^{x\mathrm{/}a}+e^{-x\mathrm{/}a})}^2={(e^{x\mathrm{/}a}-e^{-x\mathrm{/}a})}^2+4$$から$$\sqrt{1+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2}={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{x\mathrm{/}a}+e^{-x\mathrm{/}a})={\displaystyle \frac{y}{a}}$$である。よって弧長は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle l}& {\displaystyle ={\int }_0^X\sqrt{1+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{2}}(e^{X\mathrm{/}a}-e^{-X\mathrm{/}a})\mathrm{.}}\end{array}$$一方$$Y={\displaystyle \frac{a}{2}}(e^{X\mathrm{/}a}+e^{-X\mathrm{/}a})$$だから $Y^2-l^2=a^2$。$X>0$ より $l>0$ なので$$l=\sqrt{Y^2-a^2}\mathrm{.}$$(2)
$l=\sqrt{3}a$ から $Y=2a$ である。$u=e^{X\mathrm{/}a}>1$ とおけば$$u+{\displaystyle \frac{1}{u}}=4,$$したがって $u=2+\sqrt{3}$。よって$$Q=(a\log (2+\sqrt{3}),2a)\mathrm{.}$$(3)
円板法により$$V=\pi {\int }_0^X{y}^{2}dx\mathrm{.}$$$$y^2={\displaystyle \frac{a^2}{4}}(e^{2x\mathrm{/}a}+2+e^{-2x\mathrm{/}a})$$だから$$V={\displaystyle \frac{\pi a^2}{4}}\{{\displaystyle \frac{a}{2}}(e^{2X\mathrm{/}a}-e^{-2X\mathrm{/}a})+2X\}\mathrm{.}$$$u=2+\sqrt{3}$ について$$u-{\displaystyle \frac{1}{u}}=2\sqrt{3},u+{\displaystyle \frac{1}{u}}=4,u^2-{\displaystyle \frac{1}{u^2}}=8\sqrt{3}$$であり、$X=a\log u$ である。したがって$$V=\pi a^3\{\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\log (2+\sqrt{3})\}\mathrm{.}$$

指数関数の値 u を媒介変数とし、x と y を u で表す。弧長も体積も u に関する積分で直接求め、終点での u の値を最後まで共通して使う。

(1) $$u=e^{x\mathrm{/}a}(u\geqq 1)$$とおくと$$x=a\log u,y={\displaystyle \frac{a}{2}}(u+{\displaystyle \frac{1}{u}})\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{dx}{du}}={\displaystyle \frac{a}{u}},{\displaystyle \frac{dy}{du}}={\displaystyle \frac{a}{2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{u^2}})\mathrm{.}$$速さは$$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{du}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{du}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{a}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{u^2}})$$である。$U=e^{X\mathrm{/}a}>1$ とおけば$$l={\displaystyle \frac{a}{2}}{\int }_1^U(1+{\displaystyle \frac{1}{u^2}})du={\displaystyle \frac{a}{2}}(U-{\displaystyle \frac{1}{U}})\mathrm{.}$$一方$$Y={\displaystyle \frac{a}{2}}(U+{\displaystyle \frac{1}{U}})$$だから $Y^2-l^2=a^2$。したがって$$l=\sqrt{Y^2-a^2}\mathrm{.}$$(2)
$l=\sqrt{3}a$ から $Y=2a$。また$$U+{\displaystyle \frac{1}{U}}=4,U>1$$より $U=2+\sqrt{3}$ である。ゆえに$$Q=(a\log (2+\sqrt{3}),2a)\mathrm{.}$$(3)
$dx=adu\mathrm{/}u$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^X{y}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi a^3}{4}}{\int }_1^U(u+{\displaystyle \frac{2}{u}}+{\displaystyle \frac{1}{u^3}})du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi a^3}{8}}(U^2-{\displaystyle \frac{1}{U^2}})+{\displaystyle \frac{\pi a^3}{2}}\log U\mathrm{.}}\end{array}$$$U-1\mathrm{/}U=2\sqrt{3}$、$U+1\mathrm{/}U=4$ なので $U^2-U^{-2}=8\sqrt{3}$。したがって$$V=\pi a^3\{\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\log (2+\sqrt{3})\}\mathrm{.}$$