東北大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=-2f^{\mathrm{\prime }}(t),{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=f^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{.}$$$y$ は増加するので $f^{\mathrm{\prime }}(t)>0$、したがって速さは $\sqrt{5}{f}^{\mathrm{\prime }}(t)$ である。条件より$$\sqrt{5}{f}^{\mathrm{\prime }}(t)=f(t)\{4-2f(t)\}\mathrm{.}$$$g=1\mathrm{/}f$ と置くと$$g^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\{1-2g(t)\}\mathrm{.}$$(2)
$f(0)=1$ だから $g(0)=1$ である。一次方程式を解くと$$g(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-4t\mathrm{/}\sqrt{5}}\mathrm{.}$$よって$$\mathbf{f}(\mathbf{t})={\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{1}+{\mathbf{e}}^{-\mathbf{4}\mathbf{t}\mathbf{/}\sqrt{\mathbf{5}}}}}\mathrm{.}$$(3)$$f(t)⟶2$$だから$$(x,y)=(4-2f(t),f(t))⟶(\mathbf{0},\mathbf{2})\mathrm{.}$$

(1) の微分方程式を $f$ について直接変数分離する。部分分数分解して積分し、初期値から定数を決める。

(1) $$\sqrt{5}{f}^{\mathrm{\prime }}=2f(2-f),g^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}(1-2g)(g=1\mathrm{/}f)\mathrm{.}$$(2)$${\displaystyle \frac{1}{f(2-f)}}{\displaystyle \frac{df}{dt}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{f}}+{\displaystyle \frac{1}{2-f}})f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{1}{2}}\log {\displaystyle \frac{f}{2-f}}={\displaystyle \frac{2t}{\sqrt{5}}}+C\mathrm{.}$$$f(0)=1$ より $C=0$ だから$${\displaystyle \frac{f}{2-f}}=e^{4t\mathrm{/}\sqrt{5}},\mathbf{f}(\mathbf{t})={\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{1}+{\mathbf{e}}^{-\mathbf{4}\mathbf{t}\mathbf{/}\sqrt{\mathbf{5}}}}}\mathrm{.}$$(3)
$t\to \mathrm{\infty }$ で $f(t)\to 2$ なので、点 $P$ は $(\mathbf{0},\mathbf{2})$ へ近づく。