東北大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $y=e^{x-c}$ とおく。両辺の自然対数をとると $\log y=x-c$ であるから $x=\log y+c$ である。したがって逆関数は $$g(x)=\log x+c(x>0)$$ である。

(2) $f(x)=e^{x-c}$ は単調増加である。$y=f(x)$ と $y=g(x)$ の共有点を $(\alpha ,\beta )$ とすると、$\beta =f(\alpha )$ かつ $\beta =g(\alpha )$ である。後者は $\alpha =f(\beta )$ を意味する。

もし $\alpha <\beta$ なら、$f$ の単調増加性より $f(\alpha )<f(\beta )$ すなわち $\beta <\alpha$ となり矛盾する。$\alpha >\beta$ の場合も同様に矛盾する。よって共有点は必ず $\alpha =\beta$、つまり直線 $y=x$ 上にある。

したがって共有点の個数は $e^{x-c}=x$ を満たす正の $x$ の個数に等しい。両辺の対数をとると $x-c=\log x$ だから $x-\log x=c$ である。 $$\varphi (x)=x-\log x(x>0)$$ とおくと $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{x-1}{x}}$$ である。したがって $0<x<1$ で ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、$x>1$ で ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ であり、$x=1$ で最小値 $\varphi (1)=1$ をとる。また $x\to +0$ で $-\log x\to +\mathrm{\infty }$、$x\to +\mathrm{\infty }$ で $x-\log x\to +\mathrm{\infty }$ である。

よって $x-\log x=c$ の正の解の個数は$$\{\begin{array}{ll}0& (c<1),\\ 1& (c=1),\\ 2& (c>1)\end{array}$$である。したがって共有点の個数も$$\{\begin{array}{ll}0& (c<1),\\ 1& (c=1),\\ 2& (c>1)\end{array}$$である。

逆関数との共有点

逆関数との交点は単調増加性から $y=x$ 上に限られる。交点方程式を $h(x)=e^{x-c}-x$ と置けば、厳密な凸性と唯一の極小値から、$c$ による0・1・2個の分類が直接得られる。

(1) $$y=e^{x-c}⟺x=\log y+c$$だから$$g(x)=\log x+c(x>0)\mathrm{.}$$(2)
$f$ は狭義単調増加である。$f(\alpha )=\beta$ かつ $f(\beta )=\alpha$ なら、$\alpha \mathrm{\ne }\beta$ は単調性に矛盾する。したがって共有点は $y=x$ 上にあり、$$e^{x-c}=x$$の解に対応する。$$h(x)=e^{x-c}-x$$とおくと$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{x-c}-1,h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^{x-c}>0.$$よって唯一の極小点は $x=c$ であり、$$h(c)=1-c\mathrm{.}$$また $x\to -\mathrm{\infty }$ と $x\to +\mathrm{\infty }$ の両方で $h(x)\to +\mathrm{\infty }$ である。したがって零点の個数は$$\{\begin{array}{ll}0& (c<1),\\ 1& (c=1),\\ 2& (c>1)\mathrm{.}\end{array}$$これが二つのグラフの共有点の個数である。