東北大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

必要条件

行列$$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$$によって点 $(x,y)$ は $(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})=(ax-by,bx+ay)$ に移る。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^{\mathrm{\prime }2}+y^{\mathrm{\prime }2}}& {\displaystyle =(ax-by{)}^2+(bx+ay{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a^2+b^2)(x^2+y^2)}\end{array}$$である。つまり原点からの距離は $\sqrt{a^2+b^2}$ 倍される。

ここで、$P$ は円 $x^2+y^2=1$ 上にあるので $OP=1$ である。変換後の三角形 $P^{\mathrm{\prime }}{Q}^{\mathrm{\prime }}{R}^{\mathrm{\prime }}$ が領域 $D$ に含まれるなら、特に頂点 $P^{\mathrm{\prime }}$ も $D$ に含まれる。したがって $O{P}^{\mathrm{\prime }}\geqq 1$ でなければならない。ところが $$O{P}^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{a^2+b^2}$$ なので $\sqrt{a^2+b^2}\geqq 1$ が必要である。

一方、$Q,R$ は円 $x^2+y^2=4$ 上にあるので $OQ=OR=2$ である。同じく $Q^{\mathrm{\prime }},R^{\mathrm{\prime }}$ が $D$ に含まれるためには、外側の円の内側にある必要があるから $O{Q}^{\mathrm{\prime }}\leqq 2$ でなければならない。ここで $$O{Q}^{\mathrm{\prime }}=2\sqrt{a^2+b^2}$$ なので $2\sqrt{a^2+b^2}\leqq 2$ すなわち $\sqrt{a^2+b^2}\leqq 1$ が必要である。

以上より $\sqrt{a^2+b^2}\geqq 1,\sqrt{a^2+b^2}\leqq 1$ であるから $a^2+b^2=1$ が必要である。

十分性

逆に $a^2+b^2=1$ とする。このとき任意の点について $x^{\mathrm{\prime }2}+y^{\mathrm{\prime }2}=x^2+y^2$ であるから、変換は原点からの距離を保つ。さらに行列の形から、これは原点中心の回転を表す。したがって領域 $D:1\leqq x^2+y^2\leqq 4$ はこの変換でそのまま $D$ に移る。

もとの三角形 $PQR$ は内部も含めて $D$ に含まれている。回転は線分を線分に移し、三角形の内部も対応する三角形の内部に移すので、変換後の三角形 $P^{\mathrm{\prime }}{Q}^{\mathrm{\prime }}{R}^{\mathrm{\prime }}$ も $D$ に含まれる。

したがって必要十分条件は である。