東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1)

共通接線を $g(x)=mx+c$、異なる2接点の $x$ 座標を $r,s$ とする。$f(x)-g(x)$ は $x=r,s$ をそれぞれ重解にもつので、$$f(x)-g(x)=(x-r{)}^2(x-s{)}^2$$と書ける。一方、$$f(x)-g(x)=x^4-2x^2+(4-m)x-c\mathrm{.}$$右辺の $x^3$ の係数を比較すると $r+s=0$ である。したがって右辺の $x$ の係数も0となり、$4-m=0$、すなわち $m=4$ である。

$s=-r$ を用いると$$(x-r{)}^2(x+r{)}^2=x^4-2r^2{x}^2+r^4\mathrm{.}$$係数比較から $r^2=1$、$-c=1$ を得る。よって$$g(x)=4x-1.$$接点は$$P=(1,3),Q=(-1,-5)$$である。

$h(x)=u{x}^2+vx$ とおく。$P,Q$ を通る条件は$$u+v=3,u-v=-5$$だから $u=-1,v=4$ であり、$$h(x)=-x^2+4x$$である。

(2) $$h(x)-f(x)=x^2-x^4=x^2(1-x^2)\mathrm{.}$$交点の $x$ 座標は $-1,0,1$ で、$-1\leqq x\leqq 1$ では $h(x)\geqq f(x)$ である。したがって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\{h(x)-f(x)\}dx}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1(x^2-x^4)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^1(x^2-x^4)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{4}{15}\mathrm{.}}\end{array}$$

接点 $x=u$ における接線の傾き $f^{\mathrm{\prime }}(u)$ と切片 $f(u)-u{f}^{\mathrm{\prime }}(u)$ を関数として表す。異なる2点 $r,s$ で両者が一致する条件を連立し、接点を決定する。

(1)

$x=u$ における接線の傾きと切片は$$f^{\mathrm{\prime }}(u)=4u^3-4u+4,f(u)-u{f}^{\mathrm{\prime }}(u)=-3u^4+2u^2$$である。異なる $r,s$ で同じ接線になるには$$f^{\mathrm{\prime }}(r)=f^{\mathrm{\prime }}(s),f(r)-r{f}^{\mathrm{\prime }}(r)=f(s)-s{f}^{\mathrm{\prime }}(s)$$が必要十分である。

$r\mathrm{\ne }s$ を用いて第1式を整理すると$$r^2+rs+s^2=1.$$第2式は$$(r^2-s^2)\{2-3(r^2+s^2)\}=0$$となる。もし $r^2+s^2=2\mathrm{/}3$ なら、前式から $rs=1\mathrm{/}3$ であり、$$(r-s{)}^2=r^2+s^2-2rs=0$$となって $r\mathrm{\ne }s$ に反する。よって $r^2=s^2$、したがって $r+s=0$ である。これを $r^2+rs+s^2=1$ に代入して $r^2=1$ を得る。接点は $r,s=1,-1$ である。

傾きと切片を代入すると$$g(x)=4x-1.$$また $O,(1,3),(-1,-5)$ を通る二次関数を求めれば$$h(x)=-x^2+4x$$となる。

(2)

2曲線の上下差は$$h(x)-f(x)=x^2(1-x^2)$$であるから、$${\int }_{-1}^1{x}^2(1-x^2)dx=2{\int }_0^1(x^2-x^4)dx=\frac{4}{15}\mathrm{.}$$