東北大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $C_1$ の半径を $\rho$ とする。点 $P$ は2つの円の交点だから $$OP=\rho ,AP=r,OA=1$$ である。また $$\mathrm{\angle }OPA={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。三角形 $OPA$ に余弦定理を用いると $$1^2={\rho }^2+r^2-2\rho r\cos \frac{\pi }{3}$$ すなわち $1={\rho }^2+r^2-\rho r$ である。これを $\rho$ について解くと $$\rho =\frac{r\pm \sqrt{4-3r^2}}{2}$$ となる。$0<r<1$ より $$\sqrt{4-3r^2}>r$$ であるから，負号の解は負になる。半径は正なので $$\rho =\frac{r+\sqrt{4-3r^2}}{2}$$ である。

(2) $$r=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ のとき，(1) より $$OP=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{4-1}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ である。三角形 $OPA$ で，角 $\mathrm{\angle }PAO$ に対して余弦定理を用いると$$\cos \mathrm{\angle }PAO=\frac{A{P}^2+A{O}^2-O{P}^2}{2AP\cdot AO}=\frac{\frac{1}{3}+1-\frac{4}{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 1}=0$$である。したがって $$\mathrm{\angle }PAO=\frac{\pi }{2}$$ である。

(3)

(2) のとき，三角形 $OPA$ では $$\mathrm{\angle }OPA=\frac{\pi }{3},\mathrm{\angle }PAO=\frac{\pi }{2}$$ であるから $$\mathrm{\angle }POA=\frac{\pi }{6}$$ である。交点 $P,Q$ は直線 $OA$ に関して対称なので，中心 $O$ で見た扇形の中心角は $$2\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$，中心 $A$ で見た扇形の中心角は $$2\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=\pi$$ である。

共通部分は，中心 $O$，半径 ${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$，中心角 ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ の扇形と，中心 $A$，半径 ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$，中心角 $\pi$ の扇形を合わせ，その中で重複して数えた四角形 $OPAQ$ を引けばよい。

まず2つの扇形の面積の和は$$\frac{1}{2}{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)}^2\frac{\pi }{3}+\frac{1}{2}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2\pi =\frac{2\pi }{9}+\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{18}$$である。また三角形 $OPA$ は $A$ で直角なので $$[\mathrm{△}OPA]=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot AP=\frac{\sqrt{3}}{6}$$ であり，四角形 $OPAQ$ の面積はその2倍で $\frac{\sqrt{3}}{3}$ である。したがって共通部分の面積は $\frac{7\pi }{18}-\frac{\sqrt{3}}{3}$ である。