東京大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $z=k$で切る。$0\leqq k\leqq 1$に対し，条件は $$x^2+y^2\leqq k^2,k^2\leqq x$$ となる。したがって切り口は，半径$k$の円板のうち，直線$x=k^2$の右側の部分である。 $k=\cos \theta$とおく。中心から直線$x=k^2$までの距離は$k^2$であり，半径は$k$であるから $${\displaystyle \frac{k^2}{k}}=k=\cos \theta$$ である。したがって，弦を見込む中心角は$2\theta$である。

求める切り口は，中心角$2\theta$の扇形から，2辺が半径$k$でその間の角が$2\theta$の二等辺三角形を除いた部分である。よって$$S(k)={\displaystyle \frac{1}{2}}{k}^2\cdot 2\theta -{\displaystyle \frac{1}{2}}{k}^2\sin 2\theta =k^2\theta -k^2\sin \theta \cos \theta$$である。$k=\cos \theta$より $${\displaystyle S(k)={\cos }^2\theta (\theta -\sin \theta \cos \theta )}$$ である。

(2)

体積は切り口の面積を高さ方向に積分して$$V={\int }_0^{1}S(k)dk$$である。$k=\cos \theta$とおくと，$dk=-\sin \theta d\theta$であり，$k=0$のとき$\theta =\pi \mathrm{/}2$，$k=1$のとき$\theta =0$である。したがって$$V={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^2\theta (\theta -\sin \theta \cos \theta )\sin \theta d\theta$$である。

第1項を$$I={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\theta {\cos }^2\theta \sin \theta d\theta$$とおく。$$d({\cos }^3\theta )=-3{\cos }^2\theta \sin \theta d\theta$$であるから，部分積分により$$I={[-{\displaystyle \frac{1}{3}}\theta {\cos }^3\theta ]}_0^{\pi \mathrm{/}2}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^3\theta d\theta$$である。端の項は$0$であり，$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^3\theta d\theta ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\cos \theta (1-{\sin }^2\theta )d\theta =1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$だから $I={\displaystyle \frac{2}{9}}$ である。

第2項は$$J={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\sin }^2\theta {\cos }^3\theta d\theta$$である。$u=\sin \theta$とおくと$$J={\int }_0^1{u}^2(1-u^2)du={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$$である。

よって $$V=I-J={\displaystyle \frac{2}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{4}{45}}$$ である。

円弧部分を縦に細分して切り口面積を積分表示し、体積の二重積分の順序を交換する。扇形公式を使わずに値を求める。

(1)
$z=k$ では $k^2\leqq x\leqq k$ であり、各 $x$ に対する縦の長さは
$2\sqrt{k^2-x^2}$ である。したがって$$S(k)=2{\int }_{k^2}^k\sqrt{k^2-x^2}dx\mathrm{.}$$$x=k\cos \phi$ とおけば、$x=k^2$ は
$\phi =\theta$、$x=k$ は $\phi =0$ に対応するので$$S(k)=2k^2{\int }_0^{\theta }{\sin }^2\phi d\phi =k^2(\theta -\sin \theta \cos \theta )\mathrm{.}$$よって$$S(k)={\cos }^2\theta (\theta -\sin \theta \cos \theta )\mathrm{.}$$(2)
上の積分で $x=ku$ と置くと$$S(k)=2k^2{\int }_k^1\sqrt{1-u^2}du\mathrm{.}$$したがって、積分領域 $0\leqq k\leqq u\leqq 1$ で順序を交換して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2{\int }_0^1{k}^2{\int }_k^1\sqrt{1-u^2}dudk}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^1\sqrt{1-u^2}\left({\int }_0^u{k}^{2}dk\right)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{\int }_0^1{u}^3\sqrt{1-u^2}du\mathrm{.}}\end{array}$$$w=1-u^2$ とおけば$${\int }_0^1{u}^3\sqrt{1-u^2}du={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^1(1-w)\sqrt{w}dw={\displaystyle \frac{2}{15}}\mathrm{.}$$ゆえに$$V={\displaystyle \frac{4}{45}}\mathrm{.}$$